ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Тройной интеграл и его вычисление

642. Задача о вычислении массы тела.

Пусть дано некоторое тело (V), заполненное массами, и в каждой его точке известна плотность

распределения этих масс. Требуется определить всю массу тела. Для решения этой задачи разложим тело (V) на ряд частей:

и выберем в пределах каждой из них по точке

Примем приближенно, что в пределах части плотность постоянна и равна как раз плотности в выбранной точке. Тогда масса этой части приближенно выразится так:

масса же всего тела будет

Если диаметры всех частей стремятся к нулю, то в пределе это приближенное равенство становится точным, так что

и задача решена.

Мы видим, что решение задачи и здесь привело к рассмотрению предела своеобразной суммы — типа интегральных сумм различного вида, с которыми мы многократно имели дело на протяжении всего курса.

Подобного рода пределы приходится часто рассматривать в механике и физике; они получили название тройных интегралов. В принятых для них обозначениях полученный выше результат запишется так:

Теории тройных интегралов и их важным приложениям посвящена, в основном, настоящая глава. Так как целый ряд предложений, установленных для двойных интегралов, переносится вместе с их доказательствами на случай тройных интегралов, то мы обычно будем довольствоваться лишь формулировкой этих предложений, предоставляя читателю перефразировать прежние доказательства.