662. Примеры.

1) Вычислить интеграл

где (V) есть тело, ограниченное сверху поверхностью

а снизу плоскостью

Решение. Перейдем к сферическим координатам. Уравнение поверхности примет вид

а интеграл, с учетом симметрии тела относительно оси преобразуется так:

2) Вычислить интеграл

Решение. В сферических координатах

Удобно произвести подстановку Тогда

3) Вычислить интеграл

где (V) есть трехосный эллипсоид

Решение. Если перейти к обобщенным сферическим координатам по формулам

то интеграл перепишется в виде

(кликните для просмотра скана)

Подставляя это в интеграл В и меняя порядок интегрирований, найдем

или, если перейти к переменным

[519, 6) (а)]. Интегрируя по частям, нетрудно уже получить окончательный результат:

Перестановка интегрирований обосновывается существованием тройного интеграла.

6) Найти массу и определить положение центра тяжести сферы

при следующем законе распределения масс:

Указание. Перейти к сферическим координатам.

7) Найти притяжение, испытываемое произвольной точкой пространства стороны однородной сферы

Решение. Перейдя к сферическим координатам, найдем

Но, определяя притяжение сферическим слоем [633, 11)], мы уже нашли значение двойного интеграла

В таком случае при

а при

8) Найти потенциал однородной сферы на произвольную точку [ср. 650, 12)].

Указание. Перейти к сферическим координатам и использовать результаты задачи 12), 633.

9) Решить наново задачи, относящиеся к притяжению и потенциалу сферы, при более общем законе распределения масс:

где произвольная функция расстояния точки от центра.

Отметим, что заключения, сформулированные нами в 650, 9) и 12), остаются в силе в настоящем случае.

10) Найти моменты инерции тора [ср. 650, 13)].

Указание. Учитывая, что тор получается от вращения круга (см. рис. 108), положение точки в этом теле естественно определить, во-первых, углом , который составлен меридиональным сечением с плоскостью и, во-вторых, обыкновенными полярными координатами пределах самого сечения.

Тогда

причем изменяется от 0 до до

11) Вычисление потенциала однородного эллипсоида

на его центр приводит к эллиптическому интегралу.

Введем сферические координаты, но, взяв на этот раз ось х за полярную ось:

Будем иметь

где

Внутренний интеграл равен Полагая, далее, получим эллиптический интеграл первого рода

который, в свою очередь, с помощью подстановки приводится к форме Лежандра:

где для краткости положено