662. Примеры.
1) Вычислить интеграл
где (V) есть тело, ограниченное сверху поверхностью
а снизу плоскостью 
Решение. Перейдем к сферическим координатам. Уравнение поверхности примет вид
а интеграл, с учетом симметрии тела относительно оси 
преобразуется так:
2) Вычислить интеграл
Решение. В сферических координатах
Удобно произвести подстановку 
Тогда 
3) Вычислить интеграл
где (V) есть трехосный эллипсоид
Решение. Если перейти к обобщенным сферическим координатам по формулам
то интеграл перепишется в виде
(кликните для просмотра скана)
Подставляя это в интеграл В и меняя порядок интегрирований, найдем
или, если перейти к переменным 
[519, 6) (а)]. Интегрируя по частям, нетрудно уже получить окончательный результат:
Перестановка интегрирований обосновывается существованием тройного интеграла.
6) Найти массу и определить положение центра тяжести сферы
при следующем законе распределения масс:
Указание. Перейти к сферическим координатам.
7) Найти притяжение, испытываемое произвольной точкой пространства 
стороны однородной сферы 
Решение. Перейдя к сферическим координатам, найдем
Но, определяя притяжение сферическим слоем [633, 11)], мы уже нашли значение двойного интеграла
В таком случае при 
а при 
8) Найти потенциал однородной сферы на произвольную точку [ср. 650, 12)].
Указание. Перейти к сферическим координатам и использовать результаты задачи 12), 633.
9) Решить наново задачи, относящиеся к притяжению и потенциалу сферы, при более общем законе распределения масс:
где 
произвольная функция расстояния точки от центра.
Отметим, что заключения, сформулированные нами в 650, 9) и 12), остаются в силе 
в настоящем случае.
10) Найти моменты инерции 
тора [ср. 650, 13)].
Указание. Учитывая, что тор получается от вращения круга (см. рис. 108), положение точки в этом теле естественно определить, во-первых, углом 
, который составлен меридиональным сечением с плоскостью 
и, во-вторых, обыкновенными полярными координатами 
пределах самого сечения.
Тогда
причем 
изменяется от 0 до 
до 
11) Вычисление потенциала однородного 
эллипсоида
на его центр приводит к эллиптическому интегралу.
Введем сферические координаты, но, взяв на этот раз ось х за полярную ось:
Будем иметь
где
Внутренний интеграл равен 
Полагая, далее, 
получим эллиптический интеграл первого рода
который, в свою очередь, с помощью подстановки 
приводится к форме Лежандра:
где для краткости положено
