548. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости.

Обратимся к рассмотрению замкнутого контура (К), т. е. к случаю, когда начало А и конец В пути интегрирования совпадают. Взяв на кривой отличную от А точку С, полагают по определению, с учетом выбранного на кривой направления (на рис. 4 оно указано стрелкой):

в предположении, что интегралы справа существуют.

Легко показать, что существование и величина интеграла не зависят от выбора точек и С. Кроме того, и для замкнутого контура (К) оказываются применимыми формулы (4), (5) и (6), выведенные в предыдущем номере.

Замечание. Впрочем, можно и здесь криволинейный интеграл получить в результате предельного перехода (как и в случае незамкнутой кривой), но ограничив предельный переход, например, требованием, чтобы две наперед фиксированные точки неизменно входили в состав точек деления. Ничем не ограниченный предельный переход при здесь к цели не привел бы [ср. 330].

Особенность рассматриваемого случая заключается в том, что указание начальной и (совпадающей с ней) конечной точки на этот раз не определяет направления, в котором описывается кривая Можно было бы в каждом случае указывать особо, какое именно направление имеется в виду. Так и приходится делать, если речь идет о пространственной кривой. В случае же плоского замкнутого контура обыкновенно поступают иначе.

Из двух возможных для данной плоскости направлений вращения — «против часовой стрелки» и «по часовой стрелке» — одно выбирается за положительное: этим создается определенная ориентация

плоскости. Если положительным считается вращение против часовой стрелки, то ориентация плоскости называется правой, в другом же случае — левой.

В случае правой ориентации плоскости мы именно вращение против часовой стрелки положим в основу определения положительного направления на простом замкнутом контуре (рис. 5, а).

Рис. 5.

Правда, это определение имеет достаточно ясный характер лишь для контуров, близких к окружности. Поэтому мы условимся более точно так: положительным направлением обхода (простого) замкнутого контура называется то, при котором ближайшая к наблюдателю часть области, ограниченной контуром, оказывается лежащей слева от наблюдателя (рис. 5, а). В случае левой ориентации плоскости положительным будет обход контура по часовой стрелке, так что область остается справа от наблюдателя (рис. 5, б).

Рис. 6.

Заметим, что самое расположение координатных осей на плоскости всегда ставится в связь с ее ориентацией: ось у получается из оси х поворотом ее на 90° против часовой стрелки при правой ориентации плоскости и по часовой стрелке — при левой (см. рис. 6, а, б). В первом случае сама координатная система называется правой, а во втором — левой.

После этих пояснений заключим раз навсегда такое соглашение: если путь интегрирования есть простая замкнутая кривая, то под символом

при отсутствии указаний на направление обхода контура разумеется интеграл, взятый в положи тельном направлении. Конечно,

это соглашение не мешает нам рассматривать в случае надобности и интеграл, взятый в отрицательном направлении, но обозначать его мы будем через