761. Сведение к варианте.

Во всех конкретных случаях, когда мы сталкивались с понятием предела, до сих пор оказывалось возможным в некотором смысле свести вопрос к пределу варианты. Эта возможность выражения понятия предела на «языке последовательностей» играла важную рода» в предыдущем изложении. Исследуем

теперь, как обстоит дело в общем случае упорядоченной переменной

С этой целью введем понятие конфинальной подпоследовательности для данного упорядоченного множества Так мы будем называть последовательность

элементов, извлеченных из если выполнено следующее условие: какой бы элемент Р из ни взять, элементы для достаточно больших номеров оказываются следующими за Р:

Если переменная х упорядочена с помощью «пометок» Р из то, при наличии конфинальной подпоследовательности (4) для множества соответствующую извлеченную из последовательность значений х

где будем называть конфинальной подпоследовательностью для

Прежде всего встает вопрос о самом существовании хоть одной подпоследовательности (4), конфинальной для или, что то же, подпоследовательности (5), конфинальной для

Нужно сказать, что во всех случаях, когда упорядочивание множества осуществляется с помощью некоторого числового параметра t (как это разъяснено в предыдущем п°), построение подобной подпоследовательности не представляет труда: взяв последовательность так, чтобы все множества были непусты, выберем из каждого по элементу составленная из них последовательность очевидно и будет искомой.

В общем случае, однако, для упорядоченного множества может и не существовать ни одной конфинальной подпоследовательности.

Рассмотрим, для примера, множество различных разбиений данного промежутка на конечное число частей причем упорядочивание этого множества произведем по правилу 9) п° 764. Допустим, рассуждая от противного, что для существует конфинальная подпоследовательность

разбиений. Каждому отвечает конечный набор точек деления. Легко построить такой промежуток чтобы в нем не лежала ни одна точка деления из Затем построим промежуток свободный от точек деления

и т. д. до бесконечности. На стадии окажется построенным промежуток в котором не содержится точек деления . Если озаботиться при этом, чтобы было , то, по лемме о вложенных промежутках [38], найдется единственная точка которая принадлежит всем промежуткам Эта точка, очевидно, не совпадает ни с какой точкой деления ни одного Если взять теперь любое разбиение промежутка в котором среди точек деления фигурирует с, то по правилу 9) 754 ни одно не может считаться следующим за вопреки определению конфинальной подпоследовательности. Это противоречие и доказывает, что на деле такой подпоследовательности нет.

[Отсюда-то, между прочим, и следует, что указанный способ упорядочивания множества не поддается параметризации в смысле предыдущего

Предположим теперь, что множество «пометок» ним и область изменения упорядоченной переменной х, вообще содержит конфинальные подпоследовательности. В этом случае (и — понятно — только в этом случае) вопрос о пределе переменной х обычным образом сводится к вопросу о пределе варианты:

для того чтобы переменная х имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы к этому пределу стремилась каждая варианта пробегающая конфинальную подпоследовательность

Действительно, если (где мы, для определенности, предполагаем а конечным), то при любом имеем:

Но если взята любая конфинальная подпоследовательность (4), то для достаточно больших по определению, будет так что

Это и значит, что варианта .

Обратно, пусть каждая такая варианта стремится к а. Для того чтобы доказать, что тогда допустим противное: для некоторого какое бы ни взять Р из найдется такое, что . Возьмем какую-нибудь конкретную конфинальную для подпоследовательность Согласно сказанному, по каждому найдется в элемент для которого

Легко показать, что и подпоследовательность будет конфинальной для а значит подпоследовательность — конфинальной для а тогда предыдущее неравенство противоречит допущению.