636. Общий случай.

Обратимся к общему случаю простой незамкнутой гладкой поверхности. В интегральную сумму

как мы условились, не включены слагаемые, отвечающие «неправильным» элементам, которые либо лежат на поверхности частью сверху а частью — снизу, либо не допускают взаимно однозначной проекции на плоскость На это обстоятельство условно указывает штрих у знака суммы.

Разумея вообще под угол, составленный с осью z нормалью к поверхности, направленной в соответствии с выбранной сторо ной поверхности, мы будем иметь всегда равенство, верное вплоть до знака имеет тот же смысл, что и выше):

Таким образом,

Эту сумму сопоставим с суммой

( - отвечает выбранной точке). Как и выше, легко убеждаемся в том что

Если к сумме а присоединить еще сумму

соответствующую отброшенным «неправильным» элементам, то полу чится полностью интегральная сумма о для поверхностного интеграл; первого типа

Можно доказать [мы предпочитаем сделать это ниже, в 637], что при стремлении к нулю диаметров всех элементов сумма

Тогда в связи с (6) мы снова получаем равенство (4), в предположении, что существует один из фигурирующих в нем интегралов (существование другого отсюда уже вытекает).

Исходя из параметрического представления поверхности можно свести интеграл в (4) справа, а с ним, по доказанному, и интеграл слева — к обыкновенному двойному интегралу, распространенному на область изменения параметров. Именно, так как

то имеем

Двойной знак отвечает двум сторонам поверхности в частности, если ориентация плоскости отвечает ориентации поверхности - связанной с выбором определенной ее стороны, то надлежит взять знак плюс [621]. И здесь существование одного из этих интегралов влечет за собой существование другого.

Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для других поверхностных интегралов второго типа, связанных с проектированием на другие координатные плоскости. Объединяя все эти результаты, можно написать

Это — общая формула, сводящая поверхностный интеграл, второго типа к поверхностному интегралу первого типа. Здесь обозначают ограниченные функции, определенные в точках поверхности суть направляющие косинусы нормали, направленной в соответствии с выбранной стороной поверхности.

Приведем, наконец, общую формулу, сводящую поверхностный интеграл второго типа к обыкновенному двойному интегралу:

В правой части подразумевается, что в функции вместо х, у, z подставлены их выражения через и, По поводу знака можно повторить прежние замечания.

Все полученные результаты непосредственно распространяются и на более общий случай поверхности — замкнутой или нет, — составленной из конечного числа простых незамкнутых гладких частей, примыкающих одна к другой.