602. Примеры и дополнения.

1) Проверить формулу Грина на функциях

в круге радиуса 1 с центром в начале координат.

Указание. В обоих случаях так что двойной интеграл обращается в нуль. Криволинейный же интеграл, взятый по окружности

лишь в случае равен нулю, а в случае (а) равен .

Дело в том, что формула Грина выведена в предположении непрерывности рассматриваемых функций и их производных, а здесь — в обоих случаях — это условие в начале координат нарушается. В случае (а) формула Грина оказалась на деле неприложимой; любопытно, что в случае несмотря на указанное обстоятельство, она все же верна [ср. 565, 13)].

2) Преобразовать формулу Грина к виду

либо

(где означает направление внешней нормали).

Указание. Заменить Р на на использовать формулу для преобразования криволинейного интеграла второго типа в криволинейный интеграл первого типа. Обратить внимание на направление нормали

3) С помощью формулы Грина доказать формулы:

если положить

Указание, (б) получается из если положить там (а) есть частный случай при переменив в (б) роли и вычитая результат из (б), получим (в).

4) Функция непрерывная вместе со своими производными и удовлетворяющая в рассматриваемой области уравнению называется гармонической в этой области.

В предположении, что функция и в области имеет непрерывные про изводные доказать следующее утверждение: для того чтобы функция была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы, каков бы ни был простой замкнутый контур выполнялось условие

Указание. Воспользоваться формулой 3) (а).

5) Если функция — гармоническая в замкнутой области (D), то ее значения внутри области однозначно определяются ее значениями на контуре

Иными словами, если две гармонические в области (D) функции имеют на контуре области одни и те же значения, то они тождественны во всей области.

Вводя в рассмотрение разность сведем вопрос к доказательству того, что гармоническая в области (D) функция, обращающаяся в нуль на контуре области, тождественно равна нулю во всей области.

Положим в формуле Учитывая наложенные на и условия, получим

Отсюда следует, что во всей области (D)

значит, и сводится к постоянной и, обращаясь в 0 на равна 0 повсюду, что и требовалось доказать.

6) Пусть и есть гармоническая функция в области — какая-либо внутренняя точка этой области и -окружность радиуса с центром в точке Тогда имеет место важная формула:

так что значение гармонической функции в центре равно переднему» ее значению на окружности. Докажем это.

Положим где нетрудно проверить, что является гармонической функцией в области, полученной из плоскости исключением точки . В этой же точке функция обращается в бесконечность.

Окружив точку окружностью радиуса применим к области (D), содержащейся между окружностями формулу контур составляется из вместе. Так как в этой области обе функции и, — гармонические, то слева имеем нуль. Справа уничтожается интеграл

ибо, например, на окружности , а [ввиду 4)]

С другой стороны имеем

и

так что окончательно получаем:

При достаточно малом функция и на окружности сколь угодно мало отличается от значения в центре, так что при левая часть имеет предел Переходя к пределу, установим требуемое равенство.

7) Из результата, доказанного в 6), вытекает интересное следствие: если функция непрерывна в замкнутой области (D), ограниченной контуром и является гармонической внутри этой области, то своего наибольшего (наименьшего) значения функция не может достигать внутри области, за исключением случая, когда она сводится к постоянной.

Действительно, если бы упомянутая функция и не сводясь к постоянной, достигала, скажем, наибольшего своего значения во внутренней точке то легко бы было бы придти к противоречию с формулой (7).

Теперь мы может усилить и результат в 5), предположив, что функция и непрерывна в замкнутой области (D) и гармонична лишь внутри области. И здесь достаточно установить, что функция и тождественно равна 0, если обращается в нуль на контуре. А это вытекает из того соображения, что в противном случае она достигла бы своего наибольшего или наименьшего значения внутри области вопреки сделанному выше замечанию.