607. Геометрический вывод.

Формула (11) выведена нами с помощью хотя и простых, но формальных и не наглядных рассуждений. Мы считаем полезным привести другой вывод этой формулы, не вполне строгий, но зато совершенно прозрачный с геометрической стороны. Этот вывод принадлежит М. В. Остроградскому.

Рассмотрим снова преобразование плоскости в плоскость которое задается формулами (1).

Рис. 68.

Выделим на плоскости бесконечно малый прямоугольник со сторонами параллельными осям (рис. 68, а). Изображением этого прямоугольника в плоскости служит криволинейный четырехугольник (рис. 68, б) определим его площадь.

Вершины прямоугольника имеют координаты

в таком случае соответствующие вершины криволинейного четырехугольника будут иметь такие координаты:

Если ограничиться членами первого порядка относительно то приближенно можно взять точки:

где и, вообще, все производные вычислены в точке Так как проекции отрезков на обе оси

соответственно равны, то отрезки эти равны и параллельны, так что (с точностью до малых высшего порядка) четырехугольник есть параллелограмм.

Его площадь равна удвоенной площади треугольника Из аналитической же геометрии известно, что удвоенная площадь треугольника, вершины которого находятся в точках равна абсолютной величине определителя

Применяя эту формулу к нашему случаю, получим, что искомая площадь (снова — с точностью до малых высшего порядка) равна абсолютной величине определителя

Итак,

Разлагая фигуру на плоскости прямыми, параллельными осям, на бесконечно малые прямоугольники (и пренебрегая «неправильными» элементами у контура), мы одновременно разложим и фигуру (D) на плоскости на криволинейные четырехугольники рассмотренного вида. Суммируя полученные выражения для площадей их, вновь приходим к формуле (11).

Приведенное рассуждение, таким образом, подчеркивает важную геометрическую идею: сущность формулы (И) состоит в том, что для определения площади фигуры (D) эта фигура разлагается не на прямоугольные, а на криволинейные элементы с помощью сетки координатных линий.

Рис. 69.

В некоторых простых случаях эта идея позволяет находить выражение «элемента площади» в криволинейных координатах почти без вычислений.

Например, в случае перехода к полярным координатам можно рассуждать так. Элементарному прямоугольнику со сторонами в плоскости на плоскости отвечает фигура, ограниченная дугами окружностей радиусов и двумя лучами, исходящими из начала под углами к оси х (рис. 69). Принимая приближенно

ближенно эту фигуру за прямоугольник со сторонами сразу получаем искомое выражение элемента площади.