672. Приложения.

В заключение этого параграфа мы приведем различные примеры использования понятий векторного анализа и основных интегральных формул в векторной форме. Начнем с примеров на применение формулы Остроградского и связанных с нею понятий.

1°. Уравнение неразрывности. Рассмотрим вновь движение жидкости при отсутствии источников, но не будем, вообще говоря, предполагать ее несжимаемой. Считая, что жидкость сплошным образом заполняет пространство или определенную его часть, вырежем из жидкости, произвольное тело (V), ограниченное поверхностью Количество жидкости вытекающее вовне из этого тела, рассчитанное на единицу времени, как мы знаем, выразится формулой (5). Подсчитаем это же количество иначе. Если учесть изменение плотности за промежуток на величину то масса элемента тела изменится на а масса всего рассматриваемого тела на

Такое количество жидкости должно за промежуток времени протечь внутрь тела; изменив его знак, получим количество жидкости, вытекающей за этот промежуток вовне. Наконец, если отнести количество вытекающей жидкости к единице времени, то найдем

Чтобы удобнее было приравнять оба выражения для преобразуем поверхностный интеграл (5) по формуле Остроградского (7) также к тройному интегралу. Таким путем мы получим

Так как это равенство имеет место для любого тела (V) в пределах рассматриваемой области, то, в силу 644, 8°, отсюда следует, что тождественно з

Это равенство и известно под наименованием уравнения неразрывности.

2°. Основное уравнение движения идеальной жидкости. Пусть на жидкость в общем случае действуют как внешние, так и внутренние силы. Внешние силы мы считаем пропорциональными массе, так что, если есть сила, действующая на единицу массы, то на элемент жидкости будет действовать сила

Что же касается внутренних сил, т. е. сил, действующих на выделенное из жидкости тело со стороны остальной жидкости, то идеальная жидкость характеризуется именно тем, что эти силы приводятся к нормальному по отношению к поверхности этого тела давлению, направленному внутрь тела. При этом самая величина давления, приходящегося на единицу площади, зависит не от ориентации той бесконечно малой площадки, к которой давление приложено, а лишь от ее координат. Таким образом, на элемент поверхности действует сила, проекции которой на оси будут

если через обозначить направляющие косинусы Внешней нормали к поверхности. На все тело будет действовать сила, определяемая проекциями

или — если снова прибегнуть к преобразованию по формуле Остроградского, — интегралами

Сила, приходящаяся на долю элемента жидкости, будет иметь проекции

и следовательно, как вектор, представится в виде

Если теперь через а обозначить отвечающее элементу ускорение, то по закону движения Ньютона

откуда окончательно

Это и есть основное уравнение движения идеальной жидкости в векторной форме. Оно распадается на три скалярных уравнения, если перейти к проекциям на три оси координат.

3°. Уравнение теплопроводности. В качестве последнего примера применения формулы Остроградского рассмотрим вопрос о тепловом состоянии тела под действием внутренней теплопроводности при отсутствии источников тепла.

Если выделить тело (V), ограниченное поверхностью то, как мы видели в 667, 2), количество тепла, вытекающего из тела через поверхность вовне, рассчитанное на единицу времени, будет равно

(мы сохраняем прежние обозначения). Изменив знак в этом выражении и преобразуя его к тройному интегралу, для количества тепла, вытекающего внутрь тела, найдем выражение

Это тепло повлечет за собой изменение температуры внутри тела может быть подсчитано иначе. Увеличение температуры на за промежуток времени потребует сообщения элементу тела количества тепла

где с означает теплоемкость тела в рассматриваемой точке. Все тело (V) за время поглотит количество тепла

если же отнести его к единице времени, то получим

Приравнивая выражения (15) и (16), придем к равенству

которое выполняется для любого тела , взятого в рассматриваемой области. Отсюда, как и выше в 1°, заключаем, что в этой области имеем тождественно:

Это и есть уравнение теплопроводности.

В случае однородной среды оно принимает вид

где означает оператор Лапласа:

Наконец, при стационарном распределении температуры она не зависит от времени и удовлетворяет уравнению Лапласа

т. е. является гармонической функцией координат точки.

Перейдем к примерам приложения формулы Стокса и связанных с нею понятий. Эти приложения относятся к движению жидкости.

4°. Рассматривая внутри жидкости линию или поверхность в некий момент времени, мы будем интересоваться тем, какой образ составится из тех же жидких частиц в другой момент. В этих исследованиях важную роль будет играть такое вспомогательное утверждение: производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру.

Рис. 120.

Рассмотрим какой-нибудь контур в момент времени . Выберем за параметр, определяющий положение точки на нем, скажем, дугу (рис. 120); если в момент t жидкий контур перешел в то положение точки М, в которую перешла точка определится уравнениями вида

Циркуляция скорости

может быть продифференцирована по t по правилу Лейбница:

Первый из полученных двух интегралов дает циркуляцию ускорения

Второй же непосредственно вычисляется, так как подинтегральное выражение есть производная по а от

он равен

что в случае замкнутого контура обращается в 0.

Итак, окончательно:

что и требовалось доказать.

5°. Пусть мы имеем дело с идеальной жидкостью в смысле 2°. Кроме того, сделаем еще два предположения: 1) сила имеет потенциал, т. е.

2) плотность есть однозначная функция от давления

Введем величину

тогда

и аналогично

так что

Мы имели уже основное уравнение гидродинамики (14). Теперь оно напишется в виде

Если подставить это в полученное выше равенство (18), то окажется

Таким образом, циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру постоянна во времени. Это есть теорема Томсона (W. Thomson).

Отсюда, как простое следствие, получается интересное предложение Лагранжа: если рассматриваемая масса жидкости не имеет вихрей в некий определенный момент времени, то она не может иметь вихрей и во всякий другой момент. Действительно, отсутствие вихрей равносильно обращению в нуль циркуляции скорости вдоль любого замкнутого контура [670, 1°]. Если это обстоятельство имеет место однажды, то по теореме Томсона же будет и всегда.

6°. Теперь мы в состоянии доказать две важные теоремы Гельмгольца, относящиеся к «вихревым» линиям и трубкам . При этом мы все время сохраняем предположения, указанные в начале 5°.

Теорема о сохранении вихревых ланий. Частицы жидкости, образующие вихревую линию в некий момент времени, и во все время движения образуют вихревую линию.

Нам проще доказать это сначала относительно вихревой поверхности. Пусть будет такой поверхностью в момент времени тогда В каждой ее точке вихрь скорости

будет лежать в касательной к плоскости, т. е. Если взять на поверхности любой замкнутый контур ограничивающий часть поверхности, то по формуле Стокса (14)

В момент времени t жидкая поверхность перейдет в поверхность ее часть в (а), а жидкий контур в контур (X). Но по теореме Томсона и сейчас

так что (снова по формуле Стокса)

Ввиду произвольности (а) отсюда легко заключить, что вдоль тождественно

так что и поверхность оказывается вихревой.

Так как вихревую линию всегда можно рассматривать как пересечение двух вихревых поверхностей, то теорема доказана. В частности, отсюда следует и сохранение вихревых трубок.

Теперь уж совсем легко получается

Теорема о сохранении интенсивности вихревых трубок. Интенсивность любой вихревой трубки во все время движения остается постоянной.

По формуле Стокса интенсивность вихревой трубки, т. е. поток вихря через поперечное сечение трубки, приводится к циркуляции скорости по контуру этого сечения [ср. 670, 23]. В таком случае требуемое заключение прямо следует из теоремы Томсона

Этими примерами применения введенных понятий и основных формул интегрального исчисления мы и ограничимся.