718. Примеры и дополнения.

1) Показать, что косинус-преобразование функции совпадает с нею же самой.

Действительно, по формуле п° 519, 6) (а):

Дифференцируя это равенство по х, придем к заключению, что синус-преобразование функции тождественно с нею самой.

2) Установить формулу:

Указание. Вычислить косинус-преобразование функции от х, указанной справа, и воспользоваться сопряженностью обеих функций, (условия применимости формулы Фурье выполнены!).

3) Решить интегральное уравнение:

для случаев, когда

или

Указание. Решением будет синус-преобразование для функции

Ответ,

4) Показать, что функция является одновременно своим собственным косинус- и синус-преобразованием.

Имеем, например,

5) Использовать синус-преобразование функции

для получения нового интеграла.

По формуле п° 519, упомянутое преобразование будет

Так как исходная функция удовлетворяет условиям применимости формулы Фурье, то она, в свою очередь, является синус-преобразованием только что приведенной функции.

Учитывая значение интеграла

отсюда легко получить, что

или, наконец, при других обозначениях

6) Показать, что для функции

синус-преобразование тождественно с нею же самой.

Указание. Воспользоваться формулой п° 519, 8) (а).

7) Проверить формулу Фурье (14) для функций (которые, кстати сказать, не удовлетворяют тем предположениям, при которых формула Фурье была нами выведена!):

Имеем:

или, полагая и учитывая известные значения интегралов Френеля [522, 5°]:

Аналогично

Теперь уже непосредственно ясно, что косинус-преобразованиями полученных функций являются именно исходные функции, а это и равносильно справедливости формулы Фурье.

8) Проверить (а) формулу Фурье (14) для функции

(интегральный косинус),

(б) формулу (15) для функции

(интегральный синус).

Установленные нами условия применимости формул не соблюдены!

(а) Решение. По формуле п° 497, 19) (а):

Далее,

(б) Указание. Использовать 497, 19) (б).

9) Проверить обе формулы Фурье (14) и (15) для функции —где

В силу 539, 3),

а затем

Это и равно [если учесть формулу дополнения для функции Г, 531, 5°].

Аналогично проверяется и формула (15).

10) Проверить формулу Фурье (14) для функции Бесселя с нулевым значком,

Мы имели в 524, 5):

Поэтому

что действительно равно [ср. 695].

11) Рассмотрим функцию определяемую равенствами

Ее косинус-преобразование равно

или, если косинус разложить в ряд и почленно проинтегрировать:

Но, в силу 534, 1),

Поэтому, вспоминая разложение бесселевой функции со значком [395, 14)], окончательно получим:

Так как для исходной функции условия приложимости формулы Фурье выполнены, то косинус-преобразованием для функции должна быть именно исходная функция. Это приводит нас к интересному интегралу:

При отсюда получается уже известная формула [524, 5)].

12) В выражении интегрального логарифма

положим мы получим:

Так как при

а при

то интегрируема от 0 до и обе формулы Фурье (14) и (15) заведомо приложимы.

Найдем косинус-преобразование функции

Интегрируя по частям, приведем его к виду;

[522, 2°]. Отсюда, обратно,

— нами найдено значение нового интеграла!

Аналогичным путем, использовав синус-преобразование, найдем другой интеграл:

13) Доказать, что в формуле Фурье

при соблюдении каких-либо из указанных выше достаточных условий внутренний интеграл может быть заменен интегралом по любому конечному промежутку

лишь бы только точка х лежала между в и

Указание. Взамен рассмотреть новую функцию, равную при и нулю — для прочих значений к.

14) Пусть функция монотонно убывает (в широком смысле) в промежутке и стремится к нулю при в окрестности точки предположим эту функцию интегрируемой. Доказать, что тогда ее синус-преобразование для является неотрицательной функцией.

Из сделанных предположений прежде всего вытекает существование интеграла

[476, 482]. Его можно представить и в виде суммы ряда

члены которого попеременно положительны и отрицательны и, к тому же, по абсолютной величине убывают (ряд «лейбницевского типа», 381). Отсюда — требуемое заключение.

15) Пусть — ограниченная монотонно убывающая функция в стремящаяся к нулю при Предположим, сверх того, что для нее при существует отрицательная и притом монотонно возрастающая (в широком смысле) производная Доказать, что тогда косинус-преобразование есть неотрицательная функция, интегрируемая в промежутке

Имеем, если

так что, ввиду ограниченности функции производная интегрируема в промежутке Отсюда же следует, что

Интегрируя по частям, получим:

если к последнему интегралу применить доказанное в 14), то окажется, что .

Так как для функции выполнены условия приложимости формулы Фурье, то при получаем

в чем содержится и утверждение об интегрируемости функции

Замечание. Подчеркнем, что ни одна из этих двух теорем не верна для преобразования другого типа. Для функции рассмотренной в примере 2) п° 716, соответствующее косинус-преобразование

меняет знак. Еслй же взять (пример 1) того же п°), то синус-преобразование

хотя и сохраняет знак плюс для , но не интегрируемо в промежутке