691. Разложение ln Г(x).

В качестве более сложного примера мы установим, следуя Куммеру (Е. Е. Kummer), разложение в ряд Фурье функции в промежутке (0, 1].

Пользуясь сделанными в п° 688 замечаниями о разложении функции в промежутке (0, 21] (в нашем случае ), ищем разложение в виде:

причем коэффициенты его могут быть установлены по формулам, аналогичным формулам (17 п° 688:

Впрочем, как мы покажем, коэффициенты можно определить почти без вычислений. В самом деле, логарифмируя известное соотношение

мы найдем

Ряд Фурье функции получается из ряда Фурье функции заменой х на так что члены с косинусами сохранятся, а члены с синусами изменят знаки. Складывая, получим

С другой стороны, легко написать ряд Фурье для функции, стоящей в правой части равенства, если использовать известное разложение функции [690, 14)], но заменив лишь х на

Таким образом, получаем сразу

Гораздо большего труда потребует вычисление коэффициентов Мы будем исходить из формулы для

которую подстановкой преобразуем к виду:

Подставляя это выражение в формулу для и переставляя интегрирования по и по t, получим:

Для обоснования нашего права переставлять интегрирования заметим следующее. Выражение

теряет непрерывность как функция двух переменных лишь при . Но интеграл от этого выражения по переменной t сходится равномерно относительно х в [0, 1], ибо (при )

По известной теореме [521] перестановка допустима.

Продолжаем вычисление. Имеем:

Отсюда

Полагая здесь окончательно приведем выражение для к виду:

В частности,

откуда

(интеграл Фруллани, 495). Таким образом, определение всех коэффициентов приводится к определению первого из них.

Вспомним интегральное выражение эйлеровой постоянной [535]:

Тогда

Но первый интеграл вычисляется непосредственно, он равен 0; второй же равен — (снова — интеграл Фруллани). Окончательно получаем:

откуда затем

Итак, искомое разложение имеет вид: