691. Разложение ln Г(x).
В качестве более сложного примера мы установим, следуя Куммеру (Е. Е. Kummer), разложение в ряд Фурье функции 
в промежутке (0, 1].
Пользуясь сделанными в п° 688 замечаниями о разложении функции в промежутке (0, 21] (в нашем случае 
), ищем разложение в виде:
причем коэффициенты его могут быть установлены по формулам, аналогичным формулам (17 п° 688:
Впрочем, как мы покажем, коэффициенты 
можно определить почти без вычислений. В самом деле, логарифмируя известное соотношение 
мы найдем
Ряд Фурье функции 
получается из ряда Фурье функции 
заменой х на 
так что члены с косинусами сохранятся, а члены с синусами изменят знаки. Складывая, получим
С другой стороны, легко написать ряд Фурье для функции, стоящей в правой части равенства, если использовать известное разложение функции 
[690, 14)], но заменив лишь х на 
Таким образом, получаем сразу
Гораздо большего труда потребует вычисление коэффициентов 
Мы будем исходить из формулы для 
которую подстановкой 
преобразуем к виду:
Подставляя это выражение в формулу для 
и переставляя интегрирования по 
и по t, получим:
Для обоснования нашего права переставлять интегрирования заметим следующее. Выражение
теряет непрерывность как функция двух переменных лишь при 
. Но интеграл от этого выражения по переменной t сходится равномерно относительно х в [0, 1], ибо (при 
)
По известной теореме [521] перестановка допустима.
Продолжаем вычисление. Имеем:
Отсюда
Полагая здесь 
окончательно приведем выражение для 
к виду:
В частности,
откуда
(интеграл Фруллани, 495). Таким образом, определение всех коэффициентов приводится к определению первого из них.
Вспомним интегральное выражение эйлеровой постоянной [535]:
Тогда
Но первый интеграл вычисляется непосредственно, он равен 0; второй же равен — 
(снова — интеграл Фруллани). Окончательно получаем:
откуда затем
Итак, искомое разложение имеет вид:
