568. Классы функций с ограниченным изменением.

Мы уже упоминали о том, что монотонная функция имеет ограниченное изменение. Можно следующим образом расширить этот класс функций:

1°. Если функция заданная в промежутке такова, что этот промежуток может быть разложен на конечное число частей

в каждой из которых монотонна то она имеет в ограниченное изменение.

Разбив произвольным образом промежуток на части, составим сумму Так как от присоединения каждой новой точки деления сумма может разве лишь увеличиться то, присоединив к точкам деления все точки о которых была речь выше, мы получим сумму . Если выделить из суммы те слагаемые, которые относятся к промежутку то, обозначая их сумму значком наверху, будем иметь

так что

Так как произвольная сумма не превосходит этого числа, то оно и будет полным изменением функции.

2°. Если функция в промежутке удовлетворяет условию

где — любые точки промежутка, то она имеет ограниченное изменение, причем

Это следует из неравенства

В частности,

3°. Функция будет в промежутке функцией с ограниченным изменением, если она имеет в нем ограниченную производную:

В самом деле, по теореме о среднем в этом случае

так что выполнено условие Липшица (3).

На основании этого замечания можно, например, утверждать ограниченность изменения функции

в любом конечном промежутке, ибо производная ее

ограничена. Любопытно отметить, что в каждом промежутке, содержащем точку 0, эта функция «бесконечно колеблется», т. е. бесконечное число раз переходит от возрастания к убыванию, и наоборот.

Обширный класс функций с ограниченным изменением дается следующим предложением:

4°. Если в конечном (или даже в бесконечном) промежутке представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:

где предполагается абсолютно интегрируемой в этом промежутке, то имеет в нем ограниченное изменение. При этом

Пусть — конечный промежуток; тогда

откуда и следует наше утверждение.

Если же речь идет о бесконечном промежутке то достаточно заметить, что

Замечание. Можно доказать, что как в случае конечного, так и в случае бесконечного промежутка на самом деле имеет место точное равенство

Если же функция в промежутке интегрируема, но не абсолютно, то полное изменение заведомо бесконечно. Мы не будем останавливаться на этом, но поясним лишь последнюю часть замечания примерами.

Пусть так что

Тогда, например, для

но в п’ 482 мы показали, что интеграл этот — неабсолютно сходящийся. Пользуясь той же идеей, что и там, разложим промежуток [0, 2] точками

для соответствующей суммы очевидно, будет

откуда и следует, что

Аналогично этому легко показать, что функция

в промежутке имеет неограниченное изменение [ср. 476].