679. Ортогональные системы функций.

Изложенное в предыдущем п° является образцом рассуждений, которыми часто приходится пользоваться в математическом анализе при изучении многих разложений.

Назовем две функции определенные в промежутке ортогональными в этом промежутке, если их произведение имеет интеграл, равный нулю:

Рассмотрим систему функций определенных в промежутке и интегрируемых в нем вместе с их квадратами; тогда, как мы знаем [483, 6)], и произведения этих функций, взятых попарно, также интегрируемы. Если функции данной системы попарно ортогональны:

то ее называют ортогональной системой функций. При этом мы всегда будем предполагать, что

так что в составе нашей системы нет ни функции, тождественно равной нулю, ни какой-либо другой ей уподобляющейся, в некотором смысле функции, интеграл от квадрата которой оказывается нулем.

При соблюдении условий система называется нормальной. Если же эти условия не выполнены, то при желании можно перейти к системе которая уже заведомо будет нормальной. Обратимся к примерам.

1) Важнейшим примером ортогональной системы функций как раз и является тригонометрическая система

в промежутке , которую мы рассматривали выше; ее ортогональность следует из соотношений (6), (8), (9) и (13). Однако нормальной она не будет ввиду (10) и (14). Умножая тригонометрические функции (17) на надлежащие множители, легко получить нормальную систему:

2) Отметим, что та же система (17) или (17*) в урезанном промежутке уже не будет ортогональной, ибо

если и — числа разной четности. Наоборот, каждая из частичных систем, состоящая либо только из косинусов:

либо только из синусов:

в отдельности, будет в этом промежутке ортогональной, что легко проверить.

3) Несущественно разнятся от только что рассмотренных такие системы:

и

Каждая из них представляет собой ортогональную систему в промежутке

4) Чтобы дать пример более сложной ортогональной системы, состоящей из тригонометрических же функций, рассмотрим трансцендентное уравнение:

Можно доказать, что оно имеет бесконечное множество положительных корней:

графически эти корни получаются, как абсциссы точек пересечения тангенсоиды и прямой (рис. 122). Составим систему

Легко вычислить (при ), что

Если положить здесь (при ), то, используя уравнение (20), получим:

Этим установлена ортогональность указанной системы в промежутке

Аналогичное заключение можно сделать относительно системы

если

есть последовательность положительных корней уравнения

Однако ни та, ни другая система не будут нормальными.

Рис. 122.

5) Важный пример ортогональной системы в промежутке доставляют многочлены Лежандра:

[см. пп° 118, 320]. Так как

то для получения нормальной системы нужно было бы эти полиномы умножить, соответственно, на

6) Наконец, рассмотрим еще один пример, связанный с бесселевыми функциями. Мы ограничимся для простоты письма функцией но все сказанное будет справедливо и для функций при

В теории бесселевых функций устанавливается, что имеет бесчисленное множество положительных корней:

Переписав уравнение, которому удовлетворяет функция в виде

легко получить, каковы бы ни были числа :

Умножая первое из этих равенств на а второе — на и почленно вычитая одно из другого, найдем:

Отсюда, если

Если положить здесь то придем к соотношению t

которое показывает, что система функций ортогональна в промежутке [0, 1]. Эта система не будет нормальной.

Пусть в промежутке дана какая-нибудь ортогональная система Зададимся целью разложить определенную в функцию в «ряд по функциям » вида:

Для определения коэффициентов этого разложения, допуская его возможность, поступим так, как мы это сделали в частном случае Выше. Именно, умножив обе части разложения на проинтегрируем его почленно:

В силу ортогональности [см. (15) и (16)], все интегралы справа, кроме одного, будут нулями, и легко получается:

[Формулы (7), (11), (12) являются частными случаями этой формулы.] Ряд (22) с коэффициентами, составленными по формулам (23), называется (обобщенным) рядом Фурье данной функции, а сами коэффициенты — ее (обобщенными) коэффициентами Фурье относительно системы . Особенно просто выглядят формулы (23) в случае нормальной системы; тогда

Конечно, здесь могут быть повторены те же замечания, какими мы закончили предыдущий п°. Обобщенный ряд Фурье, построенный для данной функции связан с нею лишь формально. И в общем случае связь между функцией и ее (обобщенным) рядом Фурье обозначают так:

Сходимость этого ряда к функции как и в случае тригонометрического ряда, подлежит еще исследованию.