625. Замечание.

Для того чтобы сформулированное определение получило точный смысл, мы установим следующее вспомогательное утверждение:

Каждая часть поверхности с достаточно малым диаметром проектируется на касательную плоскость в любой точке М этой части в займ но однозначно.

Таким образом, если диаметры всех элементов поверхности, о которых была речь в предыдущем п°, достаточно малы, то их проекции на соответствующие касательные плоскости представляют собою вполне определенные плоские фигуры, ограниченные кусочногладкими кривыми и заведомо квадрируемые: сумма имеет смысл.

Перейдем к доказательству. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями

где изменяется в области , ограниченной кусочно-гладким контуром , на плоскости При этом пусть между точками (5) и установлено взаимно однозначное соответствие, и точкам контура отвечают точки контура поверхности.

Для устранения некоторых трудностей, связанных с точками контура, удобно заранее распространить функции (1) с сохранением их дифференциальных свойств [261] на некоторую более широкую область , с тем, чтобы получить гладкую же поверхность служащую как бы продолжением поверхности

Каждую точку поверхности можно окружить таким куском поверхности [или (5), если речь о точке контура], чтобы этот кусок выражался явным уравнением одного из трех типов [228] и притом проектировался на соответствующую координатную плоскость в некоторый круг. Можно предположить, сверх того, что нормали в двух точках никогда не оказываются взаимно перпендикулярными (этого легко добиться уменьшением диаметра области). Тогда мы утверждаем, что кусок поверхности проектируется на касательную плоскость в любой его точке М взаимно однозначно.

Для доказательства допустим противное. В таком случае найдутся на три точки такие, что хорда будет параллельна нормали к поверхности в точке (рис. 89). Пусть при этом сама поверхность выражается, скажем, явным уравнением вида

где точка на плоскости описывает круг Проведем через хорду плоскость, параллельную оси она пересечет нашу поверхность по некоторой дуге Как мы знаем [112,114],

на этой дуге найдется точка в которой касательная параллельна хорде. Но тогда нормаль к поверхности в точке наверное, будет перпендикулярна к этой хорде, а значит, и к нормали в точке что противоречит допущению, и т. д.

Рис. 89.

Для того чтобы, опираясь на это, доказать теперь высказанное вначале утверждение, мы поступим так. Для каждой точки поверхности заменим упомянутую выше ее «окрестность» более узкой «окрестностью» так, чтобы контуры их не имели общих точек.

Точке и куску поверхности на плоскости отвечают точка и ее окрестность (8); ничто не мешает не причислять к и (8) их контуров, т. е. считать их открытыми. Применив к системе открытых областей, покрывающих всю область , лемму Бореля [175], мы выделим конечное покрытие, а, возвращаясь к поверхности отсюда уже легко получить конечное число кусков

в совокупности покрывающих всю поверхность Наряду с ними рассмотрим и соответственные более широкие области, упомянутые вначале:

Возьмем для каждого I точную нижнюю границу расстояний точек куска от точек части поверхности и обозначим через наименьшее из этих чисел. Пусть диаметр части нашей поверхности меньше числа Если какая-либо ее точка попадает в некоторое определенное то вся часть (5) целиком содержится в соответственном и, следовательно, вместе с обладает требуемым свойством.

Рис. 90.