638. Выражение объема тела поверхностным интегралом.

Объем тела выражается интегралом, распространенным на ограничивающую это тело поверхность, наподобие того, как площадь плоской фигуры выражается интегралом, взятым по контуру фигуры [551]. Рассмотрим тело (V), ограниченное кусочно-гладкими поверхностями

и цилиндрической поверхностью (53), образующие которой параллельны оси z (рис. 96). Направляющей этой поверхности служит кусочно-гладкая замкнутая кривая (К) на плоскости ограничивающая плоскую область (D). В частном случае на кривой (К) может выполняться и равенство ; тогда поверхность вырождается в линию.

Рис. 96.

Объем V тела, очевидно, равен разности интегралов

Вводя поверхностные интегралы, можно это равенство переписать так [см. (3) и (3]:

причем интегралы берутся по верхней стороне поверхности и по нижней стороне поверхности Прибавим к правой части интеграл

распространенный на внешнюю сторону цилиндрической поверхности Этот интеграл, в силу (5), равен нулю, а потому прибавление его не нарушает равенства. Итак, окончательно,

где интеграл распространен на внешнюю сторону поверхности ограничивающей тело.

Формула установлена нами лишь для цилиндрических брусов, определенным образом ориентированных. Но, очевидно, она верна для

гораздо более широкого класса тел, которые могут быть разложены на части изученного вида с помощью цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси Действительно, осуществив это разложение, мы можем применить к каждой части формулу (14) и затем сложить результаты. Так как интегралы, распространенные на вспомогательные цилиндрические поверхности, равны нулю, то мы вновь приходим к формуле (14).

Мы покажем сейчас, что эта формула имеет место для широкого класса наичаще встречающихся тел, именно, для тел, ограниченных произвольными кусочно-гладкими поверхностями.

Пусть (V) — такое тело. Прежде всего выделим все «ребра» на его поверхности с помощью конечного числа прямоугольных параллелепипедов и притом так, чтобы не только их общий объем был произвольно мал, но произвольно малой была бы и площадь заключенной в них части поверхности а вместе с тем и распространенный на эту часть интеграл

Рис. 97.

Возьмем теперь любую точку поверхности, не лежащую на «ребре». Так как она не является особой, то в ней отличен от нуля хоть один из определителей А, В, С. Если , то, как известно, в окрестности точки соответствующий кусок поверхности выражается явным уравнением вида

При или придем к явным же уравнениям других видов:

Таким образом, точка может быть окружена таким параллелепипедом, который вырезает из тела (V) «призматический брус», ограниченный пятью плоскостями и куском поверхности одного из этих трех видов (рис. 97).

Применяя лемму Бореля [175] к нашей поверхности, мы выделим из всей этой бесконечной системы параллелепипедов конечное их число. В результате, за выключением параллелепипедальной полосы, выделяющей «ребра», остальная часть тела (V) разобьется на конечное число «призматических брусов» и просто параллелепипедов. Если бы удалось доказать справедливость формулы (14) для всех этих элементарных тел, то путем сложения легко было бы убедиться

и в ее верности для их суммы , а затем с помощью предельного перехода (связанного со сжиманием окрестностей «ребер») и для исходного тела (V).

Но для брусов первого вида, а тем более для параллелепипедов, формула уже доказана выше. Остановимся теперь для примера на «призматическом брусе» (V) второго вида, ограниченного плоскостями и поверхностью

Подражая процессу, которым мы пользовались в п° 551 для расширения условий применимости формулы для площади плоской фигуры, мы на этот раз вместо вписывания ломаной в кривую станем вписывать в поверхность многогранную поверхность (о). Как мы знаем [627], с помощью надлежащей триангуляции прямоугольника

представляющего собой проекцию нашего тела на плоскость это можно сделать так, чтобы нормали к граням поверхности были бколъ угодно близки по направлению к нормалям к поверхности в точках соответствующих ее участков. Заменив поверхность многогранной поверхностью (о), мы вправе написать для измененного тела V формулу

где через (5) обозначена вся поверхность, ограничивающая многогранник (V). Действительно, этот многогранник легко разлагается на части такого типа, для которого наша формула уже доказана. Остается теперь в (15) перейти к пределу (при безграничном уменьшении ребер многогранной поверхности и сближении направлений нормалей к ее граням и к данной кривой поверхности), чтобы получить (14).

Для доказательства сближения правах частей названных формул представим их разность в виде

где а обозначает интегралы по тем частям боковых поверхностей тел и (К), которыми эти поверхности разнятся. Очевидно, что Разность же интегралов можно переписать, переходя к интегралам первого типа, сначала в виде

а затем, снова возвращаясь к интегралам второго типа, — в виде

Здесь — направляющие косинусы внешних нормалей к обеим поверхностям. Заметим, что на

есть непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, и, следовательно, ограничена снизу положительным числом; при достаточном же сближении нормалей к поверхностям то же справедливо и относительно для многогранной поверхности .

Наконец, вводя уравнение многогранной поверхности , можно переписать это выражение в виде обыкновенного двойного интеграла, распространенного на прямоугольник

Учитывая не только сближение соответствующих точек поверхностей , но и сближение нормалей в них к этим поверхностям, теперь уже ясно, что в упомянутом предельном процессе написанный интеграл стремится к нулю, чем и завершается доказательство. Наряду с формулой (14) объем тела выражается и формулами

которые получаются простым изменением роли осей. Складывая все три, можно получить и более симметричную формулу;

Во всех случаях интеграл берется по внешней стороне поверхности ограничивающей тело.

Вводя вновь направляющие косинусы внешней нормали, перепишем последнее выражение в виде поверхностного интеграла первого типа;