678. Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье.

Для того чтобы установить возможность тригонометрического разложения (5) для заданной функции имеющей период нужно исходить из определенного набора коэффициентов Мы укажем прием для определения их, который во второй половине XVIII века был применен Эйлером и независимо от него в начале XIX века — Фурье.

Будем предполагать функцию интегрируемой в промежутке — в собственном или в несобственном смысле; в последнем случае мы дополнительно будем предполагать, кто функция абсолютно интегрируема. Допустим, что разложение (5) имеет место, и проинтегрируем его почленно от до мы получим

Но, как легко видеть,

Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями, и окончательно найдем

Для того чтобы установить величину коэффициента умножим обе части равенства (5), которое мы все время предполагаем

выполненным, на и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке:

Первый член справа исчезает ввиду (6). Далее имеем [ср. 308, 4)]

если и, наконец,

Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит именно коэффициент ат. Отсюда этот коэффициент и определяется:

Аналогично, умножая предварительно разложение (5) на и затем интегрируя почленно, определим коэффициент при синусе:

При этом, кроме (6) и (8), мы опираемся еще на легко проверяемые соотношения:

если

Формулы (7), (11) и (12) известны под названием формул Эйлера — Фурье; вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье данной функции, а составленный с их помощью тригонометрический ряд (5) — ее рядом Фурье. Рядами Фурье мы исключительно и будем заниматься в настоящей главе.

Дадим теперь себе отчет в том, какова логическая ценность проведенных рассуждений. Так как мы исходили из предположения, что тригонометрическое разложение (5) имеет место, то вопрос о том, отвечает ли это действительности, естественно, остается открытым. Но убедительны ли те соображения, с помощью которых по примеру Эйлера и Фурье мы определили коэффициенты разложения (5), даже в предположении, что оно осуществляется? Мы пользовались повторно почленным интегрированием ряда, а эта операция не всегда дозволительна [434]. Достаточным условием для ее применимости является равномерная сходимость ряда. Поэтому строго установленным можно считать лишь следующее: если функция имеющая период разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (5), то последний необходимо будет ее рядом рье.

Если же предполагать наперед равномерности сходимости, то наши соображения не доказывают даже и того, что функция может разлагаться только в ряд Фурье [ср. ниже 759, 760]. Каков же смысл приведенных соображений? Их можно рассматривать лишь как наведение, достаточное для того, чтобы в поисках тригонометрического разложения данной функции, по крайней мере, начать с ее ряда Фурье, обязуясь (уже со всею строгостью!) установить, при каких условиях он сходится и притом — именно к данной функции.

Пока же это не сделано, мы имеем право лишь формально рассматривать ряд Фурье данной функции но не можем о нем ничего утверждать, кроме того, что он «порожден» функцией Эту его связь с функцией обычно обозначают так:

избегая знака равенства.