686. Признак Дирихле — Жордана.

Обратимся теперь к выводу, нового признака сходимости рядов Фурье, основанного на другой идее.

Признак Дирихле — Жордана. Ряд Фурье функции в точке сходится к сумме если в некотором промежутке с центром в этой точке функция имеет ограниченное изменение.

Мы видели в п° 683, что поведение частичной суммы при определяется поведением интеграла [см. (7)], где за 8, в частности, можно взять и то число о котором была речь выше. Перепишем интеграл в виде

Сумма в квадратных скобках, по предположению, есть функция с ограниченным изменением; частное же представляет собой возрастающую функцию. Таким образом, и произведение их имеет ограниченное изменение и, следовательно, представляется в виде разности двух монотонно возрастающих функций. Поскольку лемма предыдущего п° приложима к каждой из них в отдельности, она приложима и к их разности, и мы сразу получаем, что

Этим все доказано, ибо в точке непрерывности полученное выражение само собою обращается в

Нужно сказать, что первоначально сформулированные самим Дирихле условия разложимости функции в ряд Фурье носили более частный характер. Именно, он установил следующее предложение: Признак Дирихле. Если функция периода кусочномонотонна в промежутке и имеет в нем не более, чем конечное число точек разрыва, то ее ряд Фурье сходится

к сумме в каждой точке непрерывности и к сумме каждой точке разрыва.

С тех пор высказанные здесь условия известны под именем «условий Дирихле».

Так как функция, удовлетворяющая этим условиям, очевидно, имеет ограниченное изменение в любом конечном промежутке, то этот признак формально перекрывается предыдущим признаком.

Изложенных признаков вполне достаточно для удовлетворения практических потребностей анализа и его приложений. Другие предложенные признаки представляют, главным образом, теоретический интерес; на них мы не имеем возможности останавливаться.

Коснемся в заключение вопроса о взаимоотношении признаков Дини и Дирихле—Жордана. Можно показать, что они несравнимы между собой, т. е. не вытекают один из другого. Рассмотрим сначала функцию которая в промежутке определяется так

Эта функция непрерывна и кусочно-монотонна и, значит, удовлетворяет условиям Дирихле. В то же время интеграл Дини, относящийся к точке

явно расходится при любом

С другой стороны, если в промежутке определить функцию равенствами

то в точке заведомо выполняется условие Липшица:

а следовательно и условие Дини. Однако на этот раз функция в какой окрестности точки не имеет ограниченного изменения [567].