716. Преобразование Фурье.

Предположим, что формула Фурье (12) имеет место для всех значений х в промежутке — за возможными исключениями в конечном числе точек. Эту формулу можно себе представить, как суперпозицию. таких двух Формул

Функция сопоставляемая по первой формуле функции называется ее преобразованием е. В свою очередь, по второй формуле функция является (обратным) преобразованием Фурье (разница в знаке при для функции Заметим, что функция будет, вообще говоря, комплексной даже при вещественной впрочем, можно было бы здесь и исходную функцию предположить комплексной.

Равенство

где функция дана, можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно неизвестной функции стоящей под знаком интеграла. Решение уравнения доставляется формулой

Естественно, эти равенства можно и поменять ролями.

Обратимся теперь к формуле (14); если она выполняется для всех положительных значений х с теми же исключениями, что и

выше, то ее можно представить, как суперпозицию двух — на этот раз вещественных и совершенно симметричных! — формул

Аналогично и формула (15) может быть разложена на две:

Функции называются, соответственно, косинус-преобразованием или синус-преобразованием Фурье для функции Как видим, функция по получается совершенно так же, как и по Иными словами, функции взаимно являются косинус- (синус-) преобразованиями. Коши назвал пары функций или соответственно, сопряженными функциями первого и второго рода. И здесь также каждое из равенств (17) [или (18)] можно рассматривать как интегральное уравнение, в котором функция вне интеграла дана, а функция под знаком интеграла разыскивается; решение дается другим равенством.

Сопоставляя функции можно сказать следующее. В случае четной функции имеем

(на значения функция распространяется четным образом), а в случае нечетной

(на значения функция распространяется нечетным образом). В общем случае функция разлагается на сумму четной и нечетной функций:

Тогда

В связи с этим обстоятельством достаточно ограничиться примерами косинус- и синус-преобразований.

1) Пусть функция тогда ее косинус-преобразованием будет функция

а синус-преобразованием — функция

Так как интегрируема в промежутке то должны иметь место и взаимные соотношения:

и

или

Мы узнаем в этих интегралах известные уже нам интегралы Лапласа [522, 4°].

Таким образом, в лице пар функций

мы имеем здесь примеры сопряженных функций первого и второго рода (по Коши). Если бы интегралы Лапласа нам не были известны, то йзложенная теория открыла бы путь к их вычислению.

2) Рассмотрим теперь функцию, определенную равенствами

В этом случае

Если, желая и на этом примере проверить формулу Фурье, мы найдем косинус-преобразование для полученной функции, то придем

к «разрывному множителю» Дирихле [497, 9)]

значение которого действительно совпадает с исходной функцией Аналогично а

Многочисленные примеры преобразований Фурье читатель найдет в п° 718.