749. Единственность тригонометрического разложения.

Мы подошли, наконец, к одному из фундаментальных вопросов, которые являются целью настоящего параграфа. Если функция в промежутке разлагается в некий тригонометрический ряд то будет ли это разложение единственным? Вопрос этот тем более законен, что выражение коэффициентов ряда формулами Эйлера — Фурье, как мы помним [678], не имело логически безупречной мотивации. Следующая теорема дает на него утвердительный ответ:

Теорема Гейне—Кантора. Если два тригонометрических ряда

и

сходятся к одной и той же сумме во всех точках промежутка (даже за возможным исключением конечного числа точек неизвестности» ), то эти ряды тождественны, т. е.

Почленно вычитая ряды (4) и (11), сведем доказываемую теорему к теореме об единственности тригонометрического разложения нуля:

Если тригонометрический ряд (4) сходится к нулю в промежутке (исключая разве лишь конечное число «точек неизвестности»), то все его коэффициенты должны быть нулями:

Докажем это последнее утверждение.

По лемме предыдущего п° коэффициенты стремятся к нулю, в частности, отсюда вытекает, что они ограничены в совокупности.

Рассмотрим риманову функцию [см. (6)], при наших предположениях непрерывную. За выключением «точек неизвестности» ее обобщенная вторая производная повсюду равна нулю по первой теореме Римана [747]. По второй же теореме Римана [747] даже в «точках неизвестности» выполняется облегченное условие (2): Тогда на основании обобщенной теоремы Шварца [746] можно заключить, что функция линейна:

Важно подчеркнуть, что это равенство на деле имеет место на всей числовой оси, ибо сказанное о промежутке справедливо и для любого конечного промежутка. Переписав полученное равенство в виде

из периодичности функции, стоящей в правой части равенства, сразу заключаем, что Итак, имеем разложение нуля:

но на этот раз — в равномерно сходящийся ряд! В таком случае [678] коэффициенты его с необходимостью выражаются формулами Эйлера—Фурье, и мы приходим к требуемому заключению:

Замечание. Можно было бы следующим образом избежать ссылки на лемму Кантора.

Пусть х — любая точка, отличная от «точек неизвестности», так что ряд (4) при этом значении х сходится, и его общий член, разумеется, стремится к нулю:

Подставляя в ряд (4) вместо х значения и и почленно складывая, придем к разложению

которое сходится к нулю при всех значениях , кроме разве лишь конечного числа их (если речь идет о любом конечном промежутке изменения ). Но по отношению к этому тригонометрическому ряду с переменной мы уже знаем, что его коэффициенты стремятся к нудой, и к нему (без всякой ссылки на лемму Кантора!) применимы изложенные выше рассуждения, так что и

Равенства эти имеют место не только для точек х, отличных от «точек неизвестности», но, в силу непрерывности функций косинус и синус, просто везде. Дифференцируя по х, получим еще и равенства

из (13) и (14), наконец, вытекает, что