Суммируя эти отдельные «элементы объема», приходим к формуле (6).
Таким образом, существо дела и здесь в том, кто для определения объема тела оно разлагается на элементы не с помощью взаимно перпендикулярных плоскостей, а с помощью сетки координатных поверхностей.
В простых случаях выражение для «элемента объема» в криволинейных координатах может быть получено непосредственно.
Для примера в случае цилиндрических координат рассмотрим элементарную область (в пространстве 
ограниченную двумя цилиндрическими поверхностями радиусов 
двумя горизонтальными плоскостями, лежащими на высотах 
и двумя полуплоскостями, проходящими через ось 
и наклоненными к плоскости 
под углами 
(рис. 112а).
Рис. 112а.
Рис. 1126.
Считая приближенно эту область прямоугольным параллелепипедом, без труда находим, что измерения его суть 
так что объем его равен 
а якобиан, представляющий отношение этого объема к объему 
элементарного параллелепипеда в пространстве 
равен р.
Аналогично в случае сферических координат рассмотрим элементарную область (в пространстве 
ограниченную сферами радиусов 
конусами 
и и полуплоскостями 0 и 
(рис. 112б).
И эту область можно принять за прямоугольный параллелепипеде измерениями 
и, наконец, 
Так как дуга 
равна своей проекции 
а последняя описана радиусом 
и отвечает центральному углу 
то 
. В силу этого объем рассматриваемой области равен 
а якобиан есть 
.
Оба эти результата, найденные из элементарно-геометрических соображений, согласуются со сказанным в 656, 1) и 2).
на чисто геометрических соображениях (которые и здесь впервые сформулировал М. В. Остроградский, ср. 609). Бесконечно малому прямоугольному параллелепипеду в пространстве 
с измерениями 
сопоставляется элементарное тело в пространстве 
между координатными поверхностями 
которое приближенно можно рассматривать как косоугольный параллелепипед. Его объем равен ушестеренному объему тетраэдра с вершинами в точках:
