569. Свойства функций с ограниченным изменением.
Промежуток 
в котором здесь рассматриваются все функции, предполагается конечным.
1°. Всякая функция с ограниченным изменением ограничена. В самом деле, при 
имеем
откуда
2°. Сумма, разность и произведение двух функций 
с ограниченным изменением также являются функциями с ограниченным изменением.
Пусть 
Тогда
и, суммируя по значку 
откуда следует
Положим теперь 
и пусть для 
[см. 1°]. Очевидно,
откуда уже легко получить, что
3°. Если 
суть функции с ограниченным изменением и сверх того, 
то и частное 
будет функцией с ограниченным изменением.
Ввиду свойства 2°, достаточно доказать ограниченность изменения функции 
Имеем
так что
4°. Пусть функция 
определена в промежутке 
и а <с 
Если функция 
имеет ограниченное изменение в промежутке 
то она имеет ограниченное изменение и
в каждом из промежутков 
и обратно. При этом
Пусть 
имеет ограниченное изменение в 
Разложим на части каждый из промежутков 
порознь:
этим будет разбит на части и весь промежуток 
Составим суммы отдельно для промежутков 
соответствующая сумма для промежутка 
будет 
Таким образом
и, следовательно, каждая из сумм 
порознь ограничена, т. е. функция 
оказывается с ограниченным изменением в промежутках 
. Выбирая подразделения (6) так, чтобы суммы 
стремились к соответствующим полным изменениям, в пределе получим
Допустим теперь, что 
имеет ограниченное изменение в каждом из промежутков 
. Произведем произвольное разбиение промежутка 
на части. Если точка с не входит в состав точек деления, то мы ее дополнительно введем, отчего, как мы знаем 
сумма 
может лишь увеличиться. Сохраняя прежние обозначения, будем иметь
Отсюда сразу вытекает ограниченность изменения 
в промежутке 
и неравенство.
Наконец, из (7) и (8) следует 
Из доказанной теоремы, в частности, вытекает:
5°. Если в промежутке 
функция 
имеет ограниченное изменение, то для 
полное изменение
будет монотонно возрастающей (и ограниченной) функцией от х. Действительно, если 
то
так что
(так как по самому определению полного изменения оно не может быть отрицательным числом).
Теперь становится ясным, что определение полного изменения в бесконечном промежутке 
вместо (2) может быть дано в следующей форме:
С помощью этого замечания теоремы настоящего п° легко обобщаются и на случай бесконечного промежутка.
