743. Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро — Фейера.

Как известно [681], частичная сумма ряда Фурье (3) может быть представлена интегралом Дирихле

В таком случае среднее арифметическое первых таких сумм напишется в виде:

или после упрощения [ср. 418, 2)]:

Этот интеграл называют интегралом Фейера по имени ученого, впервые успешно применившего метод средних арифметических к обобщенному суммированию рядов Фурье. Фейеру принадлежит также следующая теорема (см. теорему Шварца).

Теорема. Пусть для функции в рассматриваемой точке х существуют пределы справа и слева Тогда

В частности, в точке непрерывности этот предел равен

Если же функция везде непрерывна, то сумма стремится к равномерно относительно х.

Доказательство. Подобно интегралу Дирихле и интегралу Пуассона, интеграл Фейера может быть представлен в виде:

Этот случай также подходит под общую схему п° 740, если положить, как и в 741,

а за ядро принять функцию

(ядро Фейера).

Легко убедиться в том, что это действительно положительное ядро, как оно было определено в п° 740 (вместо X здесь натуральный параметр . В самом деле, что

непосредственно очевидно. Если в (13) взять то одновременно и а также так что

т. е. для ядра Фейера выполняется требование 2° п° 723. Что же касается требования 3°, то легко получить оценку

откуда и следует, что при

В таком случае, применяя лемму п° 740, получим предельное соотношение (12).

Наконец, заключительное утверждение теоремы обосновывается как и в случае теоремы Шварца.

На этот раз из доказанной теоремы явствует, что в точке х, где функция непрерывна или, в крайнем случае, имеет разрыв первого рода, ряд Фурье (3) суммируем по методу средних арифметических, причем «обобщенной суммой» ряда будет

соответственно.

Опираясь на теорему Фробениуса (4211, из этого утверждения, как следствие, можно получить аналогичное утверждение п° 741. относящееся к суммированию по методу Пуассона — Абеля.

Если функция задана лишь в промежутке , то по поводу нес можно повторить замечание, сделанное в конце п° 741.