714. Видоизменение основного предположения.

В основе наших рассуждений до сих пор лежало предположение, сделанное в начале п° 712, что функция абсолютно интегрируема во всем бесконечном промежутке от до Затем уже, налагая дополнительно различные условия на поведение функции в непосредственной окрестности интересующей нас точки мы и получим те или иные достаточные признаки представимости функции в этой точке интегралом Фурье.

На практике, однако, указанное выше основное предположение иной раз представляется стеснительным, и мы сохраним лишь допущение, что

Г. Функция абсолютно интегрируема в каждом конечном промежутке, а условие на бесконечности заменим следующим:

2°. Для функция монотонна и притом

Вспомним, что в рассуждениях п° 712 существенную роль играла равномерная относительно сходимость при интеграла (4)

Так как

то по признаку 2° п° 515 мы и сейчас можем заключить о равномерной относительно z сходимости этого интеграла, но, как видим, на этот раз лишь для значений , где а — любое, но фиксированное положительное число. Это вынуждает нас ввести в рассмотрение вместо интеграл

из которого интеграл Фурье получается при двойном предельном переходе: при и Для интеграла уже можно получить совершенно так же, как это сделано в выражение

так что

Докажем прежде всего, что

Представим наш интеграл в виде

где во всяком случае предположено столь большим, чтобы было Сразу ясно, что

так что при этот интеграл стремится к 0, каково бы ни было

Обращаясь ко второму интегралу, имеем по второй теореме о среднем значении [487], с учетом соотношения (7),

Так как второй множитель здесь есть ограниченная величина (мы не раз об этом упоминали), а первый ввиду (7) может быть сделан сколь угодно малым за счет то это же справедливо и относительно всего выражения. Соотношение (10), таким образом, установлено, и поведение выражений (8) или (9), как и раньше, оказывается зависящим лишь от интеграла, содержащего А. Мы выше доказывали предельное равенство

— некоторое фиксированное положительное число), опираясь на абсолютную интегрируемость функции бесконечном промежутке. Это же можно установить и пользуясь нашими новыми предположениями. В самом деле, считая имеем:

Второй из интегралов справа можно трактовать так же, как и аналогичный интеграл, содержащий параметр а; первый же интеграл при стремится к 0 по основной лемме п° 682.

Теперь уже ясно, что признаки Дини и Дирихле—Жордана [713] остаются в силе и при новых предположениях относительно функции

Из всего сказанного выше, в частности, вытекает такое условие приложимости формулы Фурье: если функция имеет ограниченное изменение во всем бесконечном промежутке и, сверх того, выполняется предельное равенство (7), то в каждой точке интеграл Фурье сходится и имеет значение

Действительно, при сделанных предположениях функцию можно представить в виде разности двух ограниченных возрастающих функций имеющих как при так и при равные [в силу (7)] пределы

Введем теперь взамен функции

Тогда по-прежнему

но на этот раз

так что для каждой из функций выполнены условия 1) и 2); кроме того, в любой точке к ним применим, очевидно, признак Дирихле — Жордана.