703. Построение особенностей.

Возьмем теперь последовательность положительных чисел для которой ряд сходится, и две бесконечно возрастающие последовательности натуральных чисел и построим два ряда:

и

Оба ряда абсолютно и равномерно сходятся, ибо ввиду (14) мажорируются сходящимся рядом Следовательно [431], функции и заведомо будут непрерывными.

Выбор чисел мы подчиним следующим двум требованиям:

Можно, например, положить

Ввиду 1) два различных тригонометрических многочлена или входящих, соответственно, в ряд (I) или (11), не содержат членов с одинаковыми кратными Если теперь просто подряд написать все члены последовательных многочленов, входящих в (I) или (II), т. е. раскрыть все скобки, то получатся два тригонометрических ряда (один по косинусам, а второй по синусам), которые и будут рядами Фурье функций . В самом деле, если, например, умножить обе части равенства (I) на и проинтегрировать от 0 до то ввиду равномерной сходимости ряда интегрирование в нем можно будет выполнить почленно. Затем, каждый интеграл

заменится конечной суммой интегралов, причем все они будут нулями, кроме того случая, когда в состав входит Таким путем мы и убедимся в том, что коэффициент при будет коэффициентом Фурье.

Обратимся теперь к вопросу о сходимости этих рядов Фурье и ее характере. Если изменение х ограничить промежутком то оба эти ряда сходятся и даже равномерно, наподобие рядов (I) и (II). Это видно из того, что любая частичная сумма, скажем ряда Фурье для функции отличается от некоторой частичной суммы

ряда (I) на некоторую частичную сумму тригонометрического многочлена

которая в силу 702, 3°, по абсолютной величине не превосходит и при безграничном возрастании равномерно стремится к нулю.

Ввиду произвольности таким образом, сходимость рядов Фурье для функции и обеспечена при всех значениях При (или ) первый ряд, однако, уже расходится, и налицо — «особенность дю Буа-Реймонда»! Действительно, если

его частичную сумму вообще обозначить через имеем

так что [см. 700, 2°]

что, в связи с требованием 2), свидетельствует о нарушении основного условия сходимости ряда [376].

Что же касается ряда Фурье функции состоящего из одних синусов, то он, конечно, сходится и при (или ). Но на этот раз в окрестности точки сходимость не будет равномерной, и мы имеем здесь осуществление «особенности Лебега»! Чтобы убедиться в этом, обозначим вообще через его частичную сумму и вычислим разность

в точке в силу 700, 2°, она оказывается большей, чем

и растет до бесконечности вместе с

Ценою некоторого усложнения построений удается определить такую непрерывную функцию с периодом что ее ряд Фурье имеет точки расходимости в любой части промежутка

До сих пор, однако, не решен вопрос, может ли ряд Фурье непрерывной функции быть всюду расходящимся. Правда, пример всюду расходящегося ряда Фурье был дан с помощью тонкого построения акад. А. Н. Колмогоровым, но его пример относится уже к функциям более сложной природы и притом использует более общее, чем обычное, определение понятия интеграла (принадлежащее Лебегу).