748. Лемма о коэффициентах сходящегося ряда.

Доказываемое ниже предложение, полезное в дальнейшем, представляет и самостоятельный интерес.

Лемма Кантора (G. Cantor). Если тригонометрический Ряд (4)

сходится, по крайней мере, для значений х в некотором промежутке , то коэффициенты ряда необходимо стремятся к нулю при

Представим общий член ряда в виде

где Требуется доказать, что

Допустим противное; тогда для бесконечного множества значений будет выполняться неравенство

где есть некоторое постоянное положительное число.

Мы индуктивно построим последовательность вложенных один в другой промежутков и возрастающих значков таких, что

В качестве возьмем первый из номеров удовлетворяющих, кроме неравенства (9), еще неравенству

При изменении х в промежутке функция хоть однажды примет значение , а тогда по непрерывности найдется и такой содержащийся в промежуток (с), во всех точках которого эта функция по абсолютной величине будет у и, следовательно, во внимание к (9),

Если уже определены, то совершенно аналогично тому, как это сделано только что, определяется значок и строится содержащийся в промежуток так, что выполняется (10). При этом легко осуществить и требование

Возьмем теперь точку содержащуюся во всех (а такая точка, хотя одна, всегда найдется). В ней неравенство (10) будет иметь место при всех , а тогда, ввиду нарушения необходимого условия сходимости, ряд (4) при расходится — вопреки предположению. Этим лемма и доказана.