748. Лемма о коэффициентах сходящегося ряда.
Доказываемое ниже предложение, полезное в дальнейшем, представляет и самостоятельный интерес.
Лемма Кантора (G. Cantor). Если тригонометрический Ряд (4)
сходится, по крайней мере, для значений х в некотором промежутке 
, то коэффициенты 
ряда необходимо стремятся к нулю при 
Представим общий член ряда в виде
где 
Требуется доказать, что 
Допустим противное; тогда для бесконечного множества значений 
будет выполняться неравенство
где 
есть некоторое постоянное положительное число.
Мы индуктивно построим последовательность вложенных один в другой промежутков 
и возрастающих значков 
таких, что
В качестве 
возьмем первый из номеров 
удовлетворяющих, кроме неравенства (9), еще неравенству
При изменении х в промежутке 
функция 
хоть однажды примет значение 
, а тогда по непрерывности найдется и такой содержащийся в 
промежуток (с), во всех точках которого эта функция по абсолютной величине будет у и, следовательно, во внимание к (9),
Если 
уже определены, то совершенно аналогично тому, как это сделано только что, определяется значок 
и строится содержащийся в 
промежуток 
так, что выполняется (10). При этом легко осуществить и требование 
Возьмем теперь точку 
содержащуюся во всех 
(а такая точка, хотя одна, всегда найдется). В ней неравенство (10) будет иметь место при всех 
, а тогда, ввиду нарушения необходимого условия сходимости, ряд (4) при 
расходится — вопреки предположению. Этим лемма и доказана.
