702. Особенности рядов Фурье; предварительные замечания.

Во всех признаках сходимости рядов Фурье, относящихся к непрерывным функциям, кроме самой непрерывности неизменно требовалось что-нибудь еще: то ли существование некоего интеграла, выполнение неравенства, наличие конечной производной, то ли ограниченность изменения функции, ее кусочная монотонность. Естественно возникает вопрос: не будет ли достаточно для сходимости ряда Фурье одной непрерывности породившей его функции? Еще в 1876 г. дю Буа-Реймонд (P. du Bois-Reymond) дал отрицательный ответ на этот вопрос, построив пример непрерывной функции с расходящимся в некоторых точках рядом Фурье.

Лебег (Н. Lebesgue) в 1906 г. построил пример такой непрерывной функции, к которой ее ряд Фурье сходится повсюду, но не равномерно.

Мы хотим дать здесь примеры осуществления как «особенности дю Буа-Реймонда», так и «особенности Лебега», следуя при их построении по пути, указанному Фейером.

Элементами построения в обоих случаях служат конечные тригонометрические многочлены (тип означают натуральные числа):

Установим предварительно некоторые свойства этих многочленов.

1°. Прежде всего, существует такая постоянная М, что

каковы бы ни были значения переменной х и значков

Для доказательства этого преобразуем многочлены объединяя в каждом члены с одинаковыми коэффициентами. Так, полагая в первом (при

приведем его к виду:

Аналогично

Так как множители при сумме, которая фигурирует здесь в обоих случаях, явно ограничены, то вопрос сводится к ограниченности самой суммы. Мы уже имели случай [690, 3)] представить ее в виде:

Второе слагаемое справа здесь ограничено ввиду равномерного стремления его к нулю при а третье — ввиду сходимости интеграла . Отсюда и вытекает требуемое заключение.

2°. Иначе обстоит дело с частичными суммами многочленов Р и (т. е. суммами любого числа последовательных членов их, начиная с первого). Если для многочлена взять сумму первых его членов, то при она получит значение

растущее вместе с до бесконечности [36.5, 1)]. Так как, очевидно,

то для получается известная оценка:

Частичные суммы многочлена при все обращаются в нуль. Однако если мы вычислим сумму первых его членов в близкой к нулю (при больших тип) точке то найдем:

Но по известному неравенству при 0 так что эта сумма оказывается большей, чем

и также бесконечно возрастает вместе с . В этом, собственно, уже содержится как бы зародыш обеих особенностей - дю Буа-Реймонда и Лебега.

3°. Если же мы, взяв любое положительное число ограничим изменение переменной х промежутком то все частичные суммы обоих многочленов оказываются ограниченными (по абсолютной величине) одной и той же постоянной не зависящей от Достаточно доказать это относительно выражений вида

ибо, как легко видеть, упомянутые частичные суммы в общем случае представляют собой разности двух подобных выражений.

Остановимся для примера на выражении

и для его оценки воспользуемся леммой Абеля [383]. Множители у при возрастании значка X убывают, оставаясь положительными. Что же касается множителей то сумма любого числа их

по абсолютной величине не превосходит постоянной Отсюда заключаем, что и

То же справедливо и относительно других выражений (15). Таким образом, в качестве упомянутой границы можно взять постоянную

Все эти свойства будут использованы в следующем п°.