653. Интеграл Гаусса.

Так называется интеграл

где есть длина радиуса-вектора, соединяющего постоянную точку с переменной точкой поверхности:

а через обозначен угол между этим радиусом-вектором и нормалью к поверхности в точке М. При этом поверхность предполагается двусторонней, и нормаль отвечает определенной ее стороне.

Если направляющие косинусы нормали суть то

Таким образом, интеграл Гаусса перепишется так:

Здесь

так что

Легко проверить выполнение условия (В) во всем пространстве, исключая точку , в которой функции терпят разрыв. Следовательно, интеграл Гаусса, взятый по замкнутой поверхности, равен нулю, если поверхность не охватывает точки А. Для всех же поверхностей, содержащих эту точку внутри себя, интеграл сохраняет одно и то же значение. Его легко найти, если за поверхность взять, например, сферу, описанную радиусом вокруг точки А. Здесь радиус-вектор точки сферы сохраняет постоянную длину, а направление его совпадает с направлением внешней нормали к сфере, так что Имеем:

таково значение интеграла Гаусса для всех поверхностей, окружающих точку А.

Все эти результаты легко устанавливаются и непосредственно, если исходить из геометрического смысла интеграла Гаусса, как меры телесного угла под которым поверхность видна из точки А.

Для доказательства этого предположим сначала, что поверхность пересекается с каждым лучом, исходящим из точки А, не более, чем в одной точке. Пусть нормаль направлена в сторону, противоположную точке А. Взяв элемент поверхности выберем точку М на нем и проведем через эту точку сферу с центром в точке А. Если спроектировать элемент из А на

упомянутую сферу, то площадь проекции будет:

так что площадь фигуры, вырезанной исходящими из А лучами зрения на сфере единичного радиуса, будет:

Это и есть (телесный) угол видимости элемента Мерой же угла видимости всей поверхности служит сумма всех элементарных углов, т. е. интеграл

Если поверхность пересекается с лучами, исходящими из А, более чем в одной точке, но может быть разложена на части, каждая из которых пересекается этими лучами уже лишь в одной точке, то нужно лишь просуммировать интегралы Г аусса, относящиеся к этим частям.

Обычно выбирается определенная сторона поверхности, и направление нормали согласуют с этим выбором. Тогда для одних участков поверхности эта нормаль окажется направленной в сторону, противоположную Л, и угол видимости получится с плюсом; для других же участков, где нормаль направлена в сторону А, этот угол получится с минусом. Интеграл Гаусса будет алгебраической суммой этих углов видимости.

Из геометрического истолкования интеграла Гаусса непосредственно ясно, что если поверхность замкнута и точка А лежит внутри ограниченной ее области, то . Наоборот, если точка лежит вне этой области, то углы видимости разных знаков взаимно уничтожаются и

Если точка А лежит на самой поверхности то интеграл Г аусса становится несобственным. Легко понять, что если поверхность в точке А имеет определенную касательную плоскость, то