545. Примеры.

1) Вычислить интеграл если (К) есть четверть эллипса лежащая в первом квадранте.

Решение, (а) Имеем

так что по формуле (5)

Выполняя интегрирование, найдем:

Следует заметить, что проведенная выкладка на деле требует еще некоторых оговорок, поскольку при угловой коэффициент касательной обращается в бесконечность. От этого недостатка свободно следующее решение.

(б) Если перейти к параметрическому представлению эллипса: так что

то вычисление можно произвести по формуле (4):

Положим здесь тогда

2) Вычислить интеграл где есть участок параболы от начала координат до токи

Решение. Из уравнения кривой имеем так что

и

3) Вычислить интеграл где (А) есть прямолинейный отрезок, соединяющий точки

Указание. У равнение прямой: . Ответ:

4) Вычислить интеграл где (С) есть участок кривой

между точками

Указание:

5) Для большинства постоянно встречающихся кривых (эллипс, гипербола, синусоида, лемниската и пр.) длина дуги не может быть выражена в элементарных функциях, так как не интегрируется в конечном виде. Тем не менее

интеграл и для таких кривых часто может быть вычислен в элементарных функциях [см., например, упр. 1)], так присоединение множителя меняет всю структуру подинтегрального дифференциала. Предлагаем читателю построить примеры интегралов распространенных на синусоиду или гиперболу и выражающихся через элементарные функции.

6) Вычислить интеграл где есть дуга кривой

Решение:

7) Дать формулу для вычисления интеграла в случае, когда кривая (К) задана уравнением в полярных координатах.

Ответ.

8) Вычислить интеграл если (К) есть отрезок гиперболической спирали от

Ответ.

9) Найти массу участка кривой между точками с абсциссами если (линейная) плотность кривой в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.

Решение. По формуле (2), так как в нашем случае имеем:

так что

10) Найти массу участка цепной линии — между точками если плотность кривой в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате кинаь

Указание.

И другие вопросы, связанные с массами, непрерывно распределенными вдоль материальной кривой, естественным образом приводят к криволинейным интегралам рассмотренного типа.

11) Мы уже имели дело в главе X [349] с вычислением статических моментов плоской кривой относительно осей координат, а также координат ее центра тяжести, в предположении, что «линейная плотность» Читатель легко распространит полученные там формулы на общий случай непрерывного распределения масс. Если использовать введенное понятие криволинейного интеграла, то результаты напишутся в следующем виде:

12) Укажем еще одно применение криволинейного интеграла первого типа — к вопросу о притяжении материальной точки материальною же кривою.

Как известно, по закону Ньютона, материальная точка М массы притягивает материальную точку массы с силой, направленной от к М и численно равной , где — расстояние — коэффициент, зависящий от выбора основных единиц измерения; впрочем, для простоты мы будем обычно считать его равным единице.

Рис. 2.

Если точка притягивается системой точек с массами то результирующая сила, или равнодействующая, получается геометрическим сложением сил притяжения отдельными точками. В то же время проекции результирующей силы на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций отдельных сил. Если обозначить проекции равнодействующей на оси через X и , а угол, составленный вектором с осью х, через (рис. 2), то, очевидно,

(где как обычно, означает длину вектора

Пусть теперь притягивающая масса распределена непрерывным образом по кривой (К). Для нахождения притяжения разобьем кривую на участки и, сосредоточив массу каждого участка в произвольно выбранной на нем

точке найдем приближенные значения проекций равнодействующей на оси:

ибо в этом случае масса отдельного участка приближенно равна Если устремить все к нулю, то в пределе получатся точные равенства, причем суммы заменятся интегралами:

здесь означает длину вектора — угол, составленный им с осью х.

13) Найти притяжение, оказываемое однородной полуокружностью (при на единицу массы, помещенную в центре.

Решение. Поместим начало координат в центр полуокружности и ось абсцисс проведем через ее концы (рис. 3).

Рис. 3.

По соображениям симметрии так что дело приводится к нахождению лишь проекции У. По формуле (8)

Но в нашем случае (радиус полуокружности) и Поэтому

14) Найти притяжение, оказываемое бесконечной однородной прямой на точку единичной массы лежащую на расстоянии от прямой.

Решение. Рассмотрим искомое притяжение, как предел притяжения, оказываемого конечным отрезком названной прямой при условии, что концы удаляются в разные стороны до бесконечности. Если саму прямую принять за ось х, а ось у провести через заданную точку, то получим (учитывая, что в данном случае

Аналогично, (что; впрочем, ясно из соображений симметрии).

15) Найти притяжение, оказываемое дугой астроиды лежащей в первом квадранте, на единицу массы, помещенную в начале координат, если плотность кривой в каждой ее точке равна кубу расстояния этой точки от начала координат.

Ответ.