560. Окончательные результаты.

Все сказанное в двух предшествующих может быть суммировано в виде следующего предложения:

Теорема 2. Для того чтобы во всей области (D) выражение (2) было дифференциалом от некоторой однозначной функции двух переменных, необходимо, а в предположении односвязности области (D) и достаточно, выполнение условия в связи с этим условие (А) часто называют «условием интегрируемости» выражения (2).

Если вспомнить теперь теорему 1, то непосредственно получается и следующая заключительная

Теорема 3. Для того чтобы криволинейный интеграл (1), где бы в области (D) ни были взяты начальная и конечная точки А и Б пути интегрирования, не зависел от формы этого пути, необходимо, а в предположении односвязности области (D) и достаточно, выполнение условия (А).

Таким образом, мы нашли, наконец, в условии (А) удобный и легко проверяемый критерий независимости криволинейного интеграла от пути С помощью этого критерия, например, легко расклассифицировать интегралы, предложенные в задачах 3), 4), 5), 6) п° 549, и предвидеть ил особенности, указанные в замечании.

Ниже мы встретим важные приложения полученных результатов К особенностям случая неодносвязной области мы вернемся в п° 562