609. Замена переменных в двойных интегралах.

Рассмотрим двойной интеграл

где область (D) ограничена кусочно-гладким контуром (5), а функция непрерывна в этой области или, самое большее, допускает разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких кривых (сохраняя и в этом случае ограниченность).

Предположим теперь, что область (D) связана формулами (1):

с некоторой областью на плоскости с соблюдением всех условий, при которых мы выводили в п° 605 формулу (11), выражающую площадь фигуры (D) в криволинейных координатах. Поставим себе целью, заменяя переменные в интеграле (19), представить его в виде интеграла, распространенного на область .

Для этого разобьем область с помощью некоторой сетки кусочно-гладких кривых на части ; тогда область (D) соответствующими (тоже кусочно-гладкими) кривыми разобьется на части (рис. 75, а, б). В каждой части выберем произвольно по точке наконец, составим интегральную сумму для интеграла (19):

которая имеет этот интеграл своим пределом при стремлении наибольшего из диаметров областей к нулю.

Применив к каждой части формулу (12) п° 606, будем иметь

где есть некоторая определенная точка области . Заменяя в сумме о каждое этим выражением, получим

В то время как точка дается теоремой о среднем и в ее выборе мы не вольны, точка берется в области совершенно произвольно.

Рис. 75.

Пользуясь этим произволом, положим

т. е. выберем в качестве точки ту точку области которая отвечает точке области Тогда сумма о примет вид

в этом виде она, очевидно, является интегральной суммой для интеграла

Существование этого интеграла вытекает из того, что подинтегральная функция либо непрерывна, либо же (сохраняя ограниченность) допускает разрывы лишь вдоль конечного числа кусочно-гладких кривых, которые служат на плоскости изображениями кривых разрыва функции

Если заставить теперь диаметры всех областей стремиться к нулю, то по непрерывности функций (1) и диаметры всех областей также будут стремиться к нулю. Тогда сумма о должна стремиться как к интегралу (19), так и к интегралу (20), ибо для обоих одновременно служит интегральной суммой. Таким образом,

Эта формула и решает поставленную задачу — о замене переменных в двойном интеграле. Формула (11), очевидно, является ее частным случаем и получается отсюда при

Итак, для того чтобы осуществить замену переменных в двойном интеграле (19), нужно не только подставить в функцию вместо х и у их выражения (1), но и заменить элемент площади его выражением в криволинейных координатах.

С помощью соображений, аналогичных приведенным в п° 606, 4°, и здесь легко установить, что формула (21) сохраняет справедливость в ряде случаев, когда условия, наложенные на преобразование (1), нарушаются в отдельных точках или вдоль отдельных линий.