715. Различные виды формулы Фурье.
Предполагая выполненными достаточные условия применимости формулы Фурье, будем считать для простоты, что в рассматриваемой точке х функция 
непрерывна или, если разрывна, то удовлетворяет условию
т. е. что рассматриваемая точка является регулярной [684]. Тогда во всяком случае имеем:
Ввиду того, что внутренний интеграл явно представляет собой четную функцию от 
эту формулу можно переписать и так:
Легко показать далее, что при сделанных в п° 712 [или п° 714] общих предположениях относительно функции 
существует и интеграл
Этот интеграл, к тому же, является непрерывной функцией от 
и, очевидно, нечетной. Хотя нельзя ручаться за существование для этой функции несобственного интеграла от 
до 
но он наверное
существует в смысле главного значения [484], причем
Умножая это равенство на 
и складывая с (12), придем к соотношению
где наружный интеграл понимается в смысле главного значения. В этом виде формула была впервые представлена Коши. Возвращаясь к формуле (11), напишем ее в виде
Если 
есть четная функция, то
и мы получим упрощенную формулу, содержащую лишь косинусы
Аналогично, в случае нечетной функции 
мы приходим к формуле, содержащей лишь синусы:
Пусть теперь функция 
задана лишь в промежутке 
и удовлетворяет в этом промежутке условиям, аналогичным тем которые раньше были поставлены по отношению ко всему промежутку 
Тогда, распространяя функцию 
на промежуток 
с помощью равенств 
Для положительных значений 
соблюдении соответствующих достаточных условий) мы можем, таким образом, пользоваться как формулой (14), так и формулой (15).
предположить функцию 
непрерывной, то формула (14) и в этой точке приложима, ибо и продолженная четным образом функция сохранит здесь непрерывность. Формула же (15) вообще в точке 
неприложима: она воспроизводит значение 
лишь в том случае, если это значение есть нуль.
