654. Примеры.

1) Преобразовать по формуле Остроградского поверхностные интегралы:

считая, что поверхность ограничивает тело (V).

Ответ.

2) Доказать с помощью формулы Остроградского формулы:

если положить

и разуметь под внешнюю нормаль к поверхности.

Указание. Решение этой и ближайших задач вполне аналогично решению задач 3), 4), 5), 6), 7) п° 602.

3) Функция и, непрерывная вместе со своими производными и удовлетворяющая в области (V) уравнению называется гармонической в этой области. Доказать, что гармоническая функция характеризуется выполнением условия

для любой содержащейся в области (V) простой замкнутой поверхности

4) Доказать следующее утверждение:

Если функция и — гармоническая в замкнутой области (V), то ее значения внутри области однозначно определяются ее значениями на поверхности ограничивающей эту область.

5) Пусть и есть гармоническая функция в области — какая-либо внутренняя точка этой области и — сфера радиуса центром в точке Тогда имеет место формула:

Доказать это.

Указание. См. доказательство в 602, 6); лишь в качестве вспомогательной гармонической функции здесь следует взять где

6) Доказать, что функция , непрерывная замкнутой области (К) и гармоническая внутри области, не может достигать своего наибольшего (наименьшего) значения внутри области (если только не сводится к постоянной),

Пользуясь этим, усилить результат в 4) наподобие того, как это сделано в 602, 7).

7) Доказать, что жесткая замкнутая поверхность, подвергнутая всестороннему равномерному давлению, остается в равновесии.

С этой целью установим, что равны нулю главный вектор и главный момент (относительно какой-либо точки) всей системы приложенных к поверхности сил.

Выделим элемент поверхности. Если через обозначить давление, т. е. силу, действующую на единицу площади, то элементарная сила, действующая на по нормали к этому элементу, будет иметь проекции на оси

(знак минус поставлен потому, что давление направлено внутрь поверхности, а суть углы внешней нормали с координатными осями).

Проекции главного вектора получаются из проекций (7) элементарных сил суммированием их:

Но все эти интегралы равны нулю, что видно из формулы Остроградского, если положить в ней

Итак, главный вектор давлений равен нулю.

Для определения главного момента системы элементарных сил, скажем, относительно начала координат, просуммируем составляющие по осям моментов этих элементарных сил

Таким образом, проекции главного момента давлений относительно начала будут:

Если в формуле Остроградского взять то получим, что Так же легко установить, что и Главный момент давлений (относительно начала) равен нулю. Этим и завершается доказательство.

8) В качестве последнего примера применения формулы Остроградского выведем один из основных законов гидростатики — закон Архимеда.

Известно, что давление жидкости на погруженную в нее площадку направлено по нормали к площадке и равно весу столба жидкости, основанием которого служит эта площадка, а высотой — глубина погружения площадки. Допустим теперь, что в жидкость погружено твердое тело (V); на каждый элемент его поверхности по указанному закону давит жидкость. Требуется определить равнодействующую элементарных давлений и ее точку приложения.

Для решения этой задачи выберем координатную систему, совместив плоскость со свободной поверхностью жидкости, а ось z направив вертикально вниз.

Пусть удельный вес жидкости равен , а глубина погружения элемента есть тогда испытываемое этим элементом давление будет:

а составляющие его но осям

В таком случае для проекций главного вектора на оси имеем:

С помощью формулы Остроградского, как и в предыдущей задаче, легко получить

Таким образом, главный вектор давлений направлен вертикально вверх и равен весу вытесненной телом жидкости.

Рассмотрим теперь моменты элементарных сил относительно центра тяжести тела (здесь и дальше имеется в виду центр тяжести геометрического тела при равномерном распределении масс; он может не совпадать с центром тяжести физического тела). Составляющие элементарных моментов по осям будут

а для составляющих главного момента (относительно точки С) получим:

Применяя к первому интегралу формулу Остроградского, найдем:

ибо интеграл есть статический момент тела относительно плоскости и равен Аналогично устанавливается, что непосредственно получается, наконец, что и

Итак, главный момент давлений относительно центра тяжести тела равен нулю. Сопоставляя это утверждение с ранее доказанным предложением о главном векторе, приходим к такому заключению: на тело, погруженное в жидкость, со стороны последней действует сила, равная весу жидкости, вытесненной телом; эта сила приложена к центру тяжести (геометрического) тела и направлена вертикально вверх.