591. Нижний и верхний интегралы, как пределы.

В двумерном случае также имеет место

Теорема Дарбу. Для любой ограниченной в (Р) функции выполняются предельные равенства

Мы наметим доказательство (например, для верхних сумм), так как оно в одном пункте существенно разнится от рассуждения, приведенного для линейного случая.

Как и там, по заданному сначала разложим с помощью сетки кривых область (Р) на части так, чтобы для соответствующей суммы было

Упомянутая только что сетка кривых — обозначим их в совокупности через — имеет площадь 0. Тогда, по лемме предыдущего п°, найдется такое что, как бы область (Р) ни разложить на части с диаметрами сумма площадей тех из них, которые задевают хоть одну из кривых будет где — полное колебание функции в области (Р).

Обозначим через сумму, отвечающую произвольному такому разложению, и сравним ее с суммой которая получится, если мы к имеющимся налицо кривым делениям присоединим целиком всю сетку По свойству сумм Дарбу [589], так что и подавно

Разнятся же суммы и лишь теми слагаемыми, которые отвечают частям , рассекаемым кривыми Так как сумма площадей этих частей то легко сообразить, что

Окончательно,

что и завершает доказательство.

Теперь критерий существования интеграла приводится к равенству

С его помощью, как и в линейном случае, устанавливается, что для интегрируемости функции достаточно выполнения при любом неравенства

хотя бы для одной пары сумм Дарбу.