710. Метод выделения особенностей.

Пусть функция в промежутке [0, и] задается рядом (22) по косинусам или рядом (23) по синусам углов, кратных причем коэффициенты этих разложений имеют вид (20) или (21), где определяются формулами (24). Ряды эти сходятся плохо, и мы знаем, что причиной тому служат разрывы самой функции и ее производных. Акад. А. Н. Крылов предложил для этого случая своеобразный метод выделения особенностей, благодаря чему достигается улучшение сходимости ряда.

Сущность этого метода, собственно говоря, уже содержится в предыдущем изложении. Она состоит в построении такой вспомогательной (кусочно-полиномиальной) функции с известным тригонометрическим разложением, которая как бы впитывает в себя все особенности данной функции ясные из ее разложения. Вычитая из функции эту вспомогательную функцию и соответственно этому из данного разложения — разложение вспомогательной функции, мы тем самым выделяем плохо сходящуюся часть данного разложения, так что остающийся ряд уже сходится быстро.

Проще всего, впрочем, этот результат получается, если научиться непосредственно суммировать, пользуясь уже известными разложениями, эти плохо сходящиеся части.

1°. Пусть задан ряд по косинусам (22), причем

где

Точки

даны, равно как дан и набор чисел Установим непосредственную сумму ряда

Простые преобразования приводят к результату:

причем сумму

легко вычислить, если вспомнить известное [690, 2)] разложение

которое имеет сумму при и, очевидно, при Таким образом,

Отсюда внутри каждого из промежутков и претерпевает в точках скачки, в точности равные с. Мы имеем, следовательно, откуда

кроме того, так как

Таким образом, функция вполне определена.

Пусть, например, имеем разложение:

Здесь

причем Тогда

(кликните для просмотра скана)

Вместе с тем повсюду (исключая точки разрыва) существует производная где

Рис. 136.

Рис. 137.

Функция внутри каждого из промежутков (5, б) оказывается линейной функцией с коэффициентом 7 при х:

причем

Легко выполнить построение графика функции (рис. 136). Прямая, соединяющая точки

очевидно, будет иметь угловой коэффициент 7. Остальное построение ясно из рисунка.

Пусть, например,

так что

Здесь (рис. 137)

Воспользуемся этим результатом, чтобы улучшить сходимость ряда

Так как

то в данном случае

Если из функции вычесть только что найденную функцию то для разности получится разложение

коэффициенты которого будут уже порядка

3°. Возвращаясь к ряду по косинусам (22), предположим теперь, что

где выражается формулой (25), а получается из (28) заменой постоянных другими постоянными Так как мы уже умеем [см. 1°] выделять часть тригонометрического ряда, зависящую от членов первого порядка, то обратимся к членам второго порядка.

Пусть (заменяя для упрощения обозначений через

Очевидно, есть непрерывная функция от х. Продифференцировав этот ряд почленно, получим новый ряд

который мы уже умеем суммировать Так как последний ряд равномерно сходится в любой замкнутой части промежутка не содержащей ни концов этого промежутка, ни точек разрыва, то (исключая эти точки) его сумма действительно представляет производную функции Итак, в силу 2°,

где определяются формулами (29) и (30). Интегрируя, находим (с учетом непрерывности!):

В точках деления значение функции получается одновременно по двум формулам, так что

Отсюда (если вспомнить, что ):

Если известно то по этой формуле последовательно найдутся Что же касается то оно определится равенством:

Сумма этого ряда может быть найдена и в конечном виде, если вспомнить выражение и воспользоваться известным [690, 9)] разложением:

Например, если дано

то здесь

Для определения

положим в упомянутом выше разложении сначала а затем в результате найдем Тогда -Окончательно

4°. Теперь в ряде по синусам (23) положим

где выражается по-прежнему формулой (28), а строится по образцу (25) — с заменой с на с'. И здесь достаточно ограничиться лишь членами второго порядка.

Рассмотрим же ряд (снова: вместо

представляющий, очевидно, непрерывную функцию. Дифференцируем:

[см. 1°]. Как и выше, легко убедиться, что (исключая концы промежутка и точки действительно будет производной от . В силу 1°,

где определяются формулами (26) и (27). Отсюда

При этом [так как ], а остальные 8 определятся последовательно из условия непрерывности функции в точках 5:

что

Пусть, например, дан ряд

который можно представить и в виде

Здесь

[cp. пример в Г], так что

5°. Можно было бы подобным же образом просуммировать и части тригонометрического ряда, связанные с членами более высокого порядка в разложении коэффициентов. Вместо создания общих схем практичнее в каждом данном конкретном случае проделывать то, что мы делали выше при рассмотрении рядов общего вида.

Вернемся для примера снова к ряду (31); полагая на этот раз

представим в виде

в соответствии с чем функция разобьется на три слагаемых. Первое из них, есть функция, уже вычисленная в 2°. Рассмотрим второе слагаемое:

Дифференцируя дважды, найдем:

Последняя функция только знаком отличается от

Отсюда, интегрируя, получим:

Приравнивая а значения получающиеся отсюда, установим, что . Значение же легко определить, непосредственно полагая в разложении Еще раз интегрируя и принимая во внимание, что найдем:

Таким образом, функция определена вполне, и мы имеем окончательно

где функция хотя и неизвестна в конечном виде, но задается разложением

коэффициенты которого будут уже порядка и очень быстро убывают.