Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье.
Мы видели, что наличие у функции ряда непрерывных производных обеспечивает быстрое убывание коэффициентов Фурье и, как следствие, быструю сходимость ряда Фурье.
Однако в математической практике часто встречаются случаи, когда разложению в ряд Фурье подлежит функция, которая в пределах от
до
как бы «склеивается» из нескольких функций, имеющих каждая в своем промежутке определенное число производных. В точках «стыка», таким образом, создаются скачки как для самой функции, так и для ее последовательных производных. Эти разрывы понижают порядок малости коэффициентов Фурье, а вместе с этим, как легко понять, и порядок малости остатка ряда Фурье. Обратимся к детальному исследованию этого вопроса.
1°. Пусть функция
будет непрерывна в промежутке
исключая «точки стыка»
в которых она имеет разрывы первого рода, т. е. претерпевает скачки
К их числу должна быть присоединена и точка
если разность
отлична от нуля, ибо в этой точке появится разрыв при периодическом продолжении функции.
Предположим, далее, что повсюду, исключая лишь указанные точки, существует конечная производная
скажем, абсолютно интегрируемая в промежутке
Для выражения коэффициента
функции
мы снова перейдем к интегралу Стилтьеса и проинтегрируем по частям [см. равенство (7)]. Если выделить в последнем интеграле слагаемые, отвечающие скачкам функции
[579, (15)], то получим
или, короче,
где положено
а через
как и раньше, обозначен коэффициент Фурье для функции
Аналогично можно установить, что
где
а
также означает коэффициент Фурье для
Наложим теперь на производную
требование, чтобы она имела ограниченное изменение в промежутке
Так как ее коэффициенты Фурье при этом предположении имеют порядок О [707], то формулы (10) и (12) можно переписать и так:
Эти формулы с отчетливостью показывают, как наличие точек разрыва у функции, несмотря на существование производной во всех прочих точках, сразу понижает порядок малости коэффициентов Фурье.
Пусть теперь, наоборот, известно, что коэффициенты Фурье некоторой функции
имеют вид (14) и (15), причем величины
определяются формулами (11) и (13), где
есть данный набор
чисел. Тогда функция
необходимо имеет разрывы первого рода именно в точках (9) и претерпевает в них скачки, соответственно равные
кроме того, для нее существуют пределы
и их разность равна
. В прочих же точках функция непрерывна.
Для того чтобы в этом убедиться, составим вспомогательную функцию
например, из линейных в
функций так, чтобы она в указанных точках претерпевала как раз указанные скачки. Для ее коэффициентов Фурье имеем аналогично (14) и (15):
где
имеют прежние значения. Тогда для разности
получится разложение вида
где
т. е.
Этот ряд, мажорируемый сходящимся рядом
сходится повсюду равномерно. Отсюда уже ясно, что разность
представляет собой непрерывную функцию с периодом
и, следовательно,
имеет те же скачки и в тех же точках, что и
2°. Теперь предположим сверх сказанного, что первая производная
имеет предельные значения
и, кроме того, что повсюду (исключая «точки стыка») существует вторая производная
которая к тому же в промежутке
имеет ограниченное изменение.
Используя уже доказанное, можно утверждать, что тогда
если через
обозначить аналогично (11) и (13) величины
где
Подставляя же эти выражения для
в формулы (10) и (12), окончательно получим для рассматриваемого случая:
И здесь также можно доказать в некотором смысле обратное утверждение. Пусть коэффициенты Фурье некоторой функции
имеют вид (18) и (19), причем величины
определяются формулами (11), (13), (16), (17) при данном наборе чисел
. Тогда про функцию
можно утверждать, что она непрерывна и имеет непрерывную производную
повсюду в
исключая точки где и функция и ее производная претерпевают скачки, соответственно равные
кроме того,
и
Доказательство, как и выше, осуществляется с помощью построения вспомогательной функции
которую на этот раз можно составить из квадратичных функций так, чтобы она и ее производная имели именно указанные скачки в указанных же точках. Легко усмотреть, что разность
будет разлагаться в ряд Фурье с коэффициентами порядка
. Тогда не только этот ряд, но и ряд, полученный из него почленным дифференцированием, с коэффициентами порядка
будут сходиться равномерно и, следовательно, разность
будет периодична (с периодом
и непрерывна вместе со своей производной. Отсюда и вытекает требуемое утверждение.
3°. В общем случае пусть
непрерывны в
исключая точки
где все эти функции претерпевают скачки, соответственно равные
Кроме того, предположим, что повсюду (исключая «точки стыка») существует производная
и имеет в промежутке
ограниченное изменение. Введем обозначения:
Тогда имеют место формулы (соответственно, при k нечетном и k четном):
Если же известно, что имеют место подобные формулы, то отсюда, обратно, можно (как и выше) сделать заключение о точках разрыва и величине скачков самой функции и ее
производных.