Главная > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье.

Мы видели, что наличие у функции ряда непрерывных производных обеспечивает быстрое убывание коэффициентов Фурье и, как следствие, быструю сходимость ряда Фурье.

Однако в математической практике часто встречаются случаи, когда разложению в ряд Фурье подлежит функция, которая в пределах от до как бы «склеивается» из нескольких функций, имеющих каждая в своем промежутке определенное число производных. В точках «стыка», таким образом, создаются скачки как для самой функции, так и для ее последовательных производных. Эти разрывы понижают порядок малости коэффициентов Фурье, а вместе с этим, как легко понять, и порядок малости остатка ряда Фурье. Обратимся к детальному исследованию этого вопроса.

1°. Пусть функция будет непрерывна в промежутке исключая «точки стыка»

в которых она имеет разрывы первого рода, т. е. претерпевает скачки

К их числу должна быть присоединена и точка если разность

отлична от нуля, ибо в этой точке появится разрыв при периодическом продолжении функции.

Предположим, далее, что повсюду, исключая лишь указанные точки, существует конечная производная скажем, абсолютно интегрируемая в промежутке Для выражения коэффициента функции мы снова перейдем к интегралу Стилтьеса и проинтегрируем по частям [см. равенство (7)]. Если выделить в последнем интеграле слагаемые, отвечающие скачкам функции [579, (15)], то получим

или, короче,

где положено

а через как и раньше, обозначен коэффициент Фурье для функции Аналогично можно установить, что

где

а также означает коэффициент Фурье для

Наложим теперь на производную требование, чтобы она имела ограниченное изменение в промежутке Так как ее коэффициенты Фурье при этом предположении имеют порядок О [707], то формулы (10) и (12) можно переписать и так:

Эти формулы с отчетливостью показывают, как наличие точек разрыва у функции, несмотря на существование производной во всех прочих точках, сразу понижает порядок малости коэффициентов Фурье.

Пусть теперь, наоборот, известно, что коэффициенты Фурье некоторой функции имеют вид (14) и (15), причем величины определяются формулами (11) и (13), где есть данный набор чисел. Тогда функция необходимо имеет разрывы первого рода именно в точках (9) и претерпевает в них скачки, соответственно равные кроме того, для нее существуют пределы и их разность равна . В прочих же точках функция непрерывна.

Для того чтобы в этом убедиться, составим вспомогательную функцию например, из линейных в функций так, чтобы она в указанных точках претерпевала как раз указанные скачки. Для ее коэффициентов Фурье имеем аналогично (14) и (15):

где имеют прежние значения. Тогда для разности получится разложение вида

где

т. е.

Этот ряд, мажорируемый сходящимся рядом сходится повсюду равномерно. Отсюда уже ясно, что разность представляет собой непрерывную функцию с периодом и, следовательно, имеет те же скачки и в тех же точках, что и

2°. Теперь предположим сверх сказанного, что первая производная имеет предельные значения

и, кроме того, что повсюду (исключая «точки стыка») существует вторая производная которая к тому же в промежутке имеет ограниченное изменение.

Используя уже доказанное, можно утверждать, что тогда

если через обозначить аналогично (11) и (13) величины

где

Подставляя же эти выражения для в формулы (10) и (12), окончательно получим для рассматриваемого случая:

И здесь также можно доказать в некотором смысле обратное утверждение. Пусть коэффициенты Фурье некоторой функции имеют вид (18) и (19), причем величины определяются формулами (11), (13), (16), (17) при данном наборе чисел . Тогда про функцию можно утверждать, что она непрерывна и имеет непрерывную производную повсюду в исключая точки где и функция и ее производная претерпевают скачки, соответственно равные кроме того,

и

Доказательство, как и выше, осуществляется с помощью построения вспомогательной функции которую на этот раз можно составить из квадратичных функций так, чтобы она и ее производная имели именно указанные скачки в указанных же точках. Легко усмотреть, что разность будет разлагаться в ряд Фурье с коэффициентами порядка . Тогда не только этот ряд, но и ряд, полученный из него почленным дифференцированием, с коэффициентами порядка будут сходиться равномерно и, следовательно, разность будет периодична (с периодом и непрерывна вместе со своей производной. Отсюда и вытекает требуемое утверждение.

3°. В общем случае пусть непрерывны в исключая точки где все эти функции претерпевают скачки, соответственно равные

Кроме того, предположим, что повсюду (исключая «точки стыка») существует производная и имеет в промежутке ограниченное изменение. Введем обозначения:

Тогда имеют место формулы (соответственно, при k нечетном и k четном):

Если же известно, что имеют место подобные формулы, то отсюда, обратно, можно (как и выше) сделать заключение о точках разрыва и величине скачков самой функции и ее производных.

1
Оглавление
email@scask.ru