708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье.

Мы видели, что наличие у функции ряда непрерывных производных обеспечивает быстрое убывание коэффициентов Фурье и, как следствие, быструю сходимость ряда Фурье.

Однако в математической практике часто встречаются случаи, когда разложению в ряд Фурье подлежит функция, которая в пределах от до как бы «склеивается» из нескольких функций, имеющих каждая в своем промежутке определенное число производных. В точках «стыка», таким образом, создаются скачки как для самой функции, так и для ее последовательных производных. Эти разрывы понижают порядок малости коэффициентов Фурье, а вместе с этим, как легко понять, и порядок малости остатка ряда Фурье. Обратимся к детальному исследованию этого вопроса.

1°. Пусть функция будет непрерывна в промежутке исключая «точки стыка»

в которых она имеет разрывы первого рода, т. е. претерпевает скачки

К их числу должна быть присоединена и точка если разность

отлична от нуля, ибо в этой точке появится разрыв при периодическом продолжении функции.

Предположим, далее, что повсюду, исключая лишь указанные точки, существует конечная производная скажем, абсолютно интегрируемая в промежутке Для выражения коэффициента функции мы снова перейдем к интегралу Стилтьеса и проинтегрируем по частям [см. равенство (7)]. Если выделить в последнем интеграле слагаемые, отвечающие скачкам функции [579, (15)], то получим

или, короче,

где положено

а через как и раньше, обозначен коэффициент Фурье для функции Аналогично можно установить, что

где

а также означает коэффициент Фурье для

Наложим теперь на производную требование, чтобы она имела ограниченное изменение в промежутке Так как ее коэффициенты Фурье при этом предположении имеют порядок О [707], то формулы (10) и (12) можно переписать и так:

Эти формулы с отчетливостью показывают, как наличие точек разрыва у функции, несмотря на существование производной во всех прочих точках, сразу понижает порядок малости коэффициентов Фурье.

Пусть теперь, наоборот, известно, что коэффициенты Фурье некоторой функции имеют вид (14) и (15), причем величины определяются формулами (11) и (13), где есть данный набор чисел. Тогда функция необходимо имеет разрывы первого рода именно в точках (9) и претерпевает в них скачки, соответственно равные кроме того, для нее существуют пределы и их разность равна . В прочих же точках функция непрерывна.

Для того чтобы в этом убедиться, составим вспомогательную функцию например, из линейных в функций так, чтобы она в указанных точках претерпевала как раз указанные скачки. Для ее коэффициентов Фурье имеем аналогично (14) и (15):

где имеют прежние значения. Тогда для разности получится разложение вида

где

т. е.

Этот ряд, мажорируемый сходящимся рядом сходится повсюду равномерно. Отсюда уже ясно, что разность представляет собой непрерывную функцию с периодом и, следовательно, имеет те же скачки и в тех же точках, что и

2°. Теперь предположим сверх сказанного, что первая производная имеет предельные значения

и, кроме того, что повсюду (исключая «точки стыка») существует вторая производная которая к тому же в промежутке имеет ограниченное изменение.

Используя уже доказанное, можно утверждать, что тогда

если через обозначить аналогично (11) и (13) величины

где

Подставляя же эти выражения для в формулы (10) и (12), окончательно получим для рассматриваемого случая:

И здесь также можно доказать в некотором смысле обратное утверждение. Пусть коэффициенты Фурье некоторой функции имеют вид (18) и (19), причем величины определяются формулами (11), (13), (16), (17) при данном наборе чисел . Тогда про функцию можно утверждать, что она непрерывна и имеет непрерывную производную повсюду в исключая точки где и функция и ее производная претерпевают скачки, соответственно равные кроме того,

и

Доказательство, как и выше, осуществляется с помощью построения вспомогательной функции которую на этот раз можно составить из квадратичных функций так, чтобы она и ее производная имели именно указанные скачки в указанных же точках. Легко усмотреть, что разность будет разлагаться в ряд Фурье с коэффициентами порядка . Тогда не только этот ряд, но и ряд, полученный из него почленным дифференцированием, с коэффициентами порядка будут сходиться равномерно и, следовательно, разность будет периодична (с периодом и непрерывна вместе со своей производной. Отсюда и вытекает требуемое утверждение.

3°. В общем случае пусть непрерывны в исключая точки где все эти функции претерпевают скачки, соответственно равные

Кроме того, предположим, что повсюду (исключая «точки стыка») существует производная и имеет в промежутке ограниченное изменение. Введем обозначения:

Тогда имеют место формулы (соответственно, при k нечетном и k четном):

Если же известно, что имеют место подобные формулы, то отсюда, обратно, можно (как и выше) сделать заключение о точках разрыва и величине скачков самой функции и ее производных.