671. Обратная задача векторного анализа.

Она состоит в разыскании векторного поля А по наперед заданным его расходимости скалярная функция) и вихрю Ввиду 2), ясно, что для разрешимости задачи во всяком случае необходимо условие: предположим это условие выполненным.

Естественно (если вспомнить искать решение А в виде суммы решений таких систем:

(1) Из первого уравнения, в силу Для определения Ф обратимся ко второму уравнению:

так что Ф есть одно из решений уже знакомого нам дифференциального уравнения.

(2) Ввиду того, что (по предположению) в силу 2), уравнение первое рассматриваемой системы имеет решение Обозначая через какое-нибудь фиксированное частное решение этого уравнения, общее его решение можно написать в виде , где С — произвольный потенциальный вектор, Остается удовлетворить еще и второму уравнению системы (2), т. е. определить Ф из условия

Поставленная задача решена. Установить теперь степень произвола в определении искомого вектора А. Легко сообразить, что два решения разнятся таким вектором который удовлетворяет двум уравнениям:

Второе из них дает: а из первого получаем тогда, что есть произвольная гармоническая функция. Однозначно вектор А получается, если установлены и «граничные условия», которые приводят к однозначному определению упомянутой гармонической функции.

Результаты двух последних п° распространяются и на области общего вида, удовлетворяющие — это нужно подчеркнуть — требованиям односвязности того или другого типа, смотря по случаю.