650. Примеры.

1) В 598 для статических моментов однородного цилиндрического бруса (при мы имели формулы:

Вывести их из общих формул (13) предыдущего п°.

Имеем, например,

во

что и приводит к требуемому результату.

В 598 взамен вычисления последнего интеграла были привлечены соображения из области механики (относительно статического момента элементарного столбика).

2) Аналогично, в предположении, что площадь поперечного сечения тела (V), параллельного некоторой плоскости, задана в функции расстояния х сечения от этой плоскости: в 356 1) была выведена для статического момента формула

Ее также можно получить, как следствие из общей формулы.

Именно, по формуле (8

но внутренний интеграл как раз и выражает площадь сечения, которая наперед дана.

Замечание. Эти примеры привлекают наше внимание к тому факту, что некоторые из механических величин, относящихся к пространственному распределению масс, выражались (правда, при простейших предположениях) двойными и даже простыми интегралами. Эта иллюзия понижения кратности интеграла, - как читатель видит, проистекает из того, что при представлении тройного интеграла в виде двойного от простого или простого от двойного внутренний интеграл в простых случаях оказывается уже известным из геометрических или механических соображений и не Нуждается в вычислении.

3) Использовать задачи 2), 4), 10) п° 648 для определения положения центров тяжести рассмотренных там тел.

4) Найти центр тяжести тела, ограниченного поверхностями параболоида и сферы

Решение. Статический момент относительно плоскости проще всего вычислить по формуле, упомянутой в 2), с заменой лишь х на Площадь поперечного сечения равна для z от 0 до а и для от а до Таким образом,

Так как объем тела уже известен: то

По соображениям симметрии:

5) Найти массу и определить положение центра тяжести сферы

если плотность в точках сферы обратно пропорциональна расстоянию этих точек от начала координат:

Решение. По формуле (12) п° 648 масса

Преобразуя тройной интеграл аналогично (8, можно представить его в виде простого интеграла от двойного:

где есть круг радиуса Внутренний интеграл без труда вычисляется, если перейти к полярным координатам; он оказывается равным

Отсюда

Аналогично вычисляется и статический момент

Рис. 105.

Таким образом, Остальные две координаты центра тяжести, очевидно, равны 0.

6) Та же задача, но при другом законе распределения масс:

приводит к результатам:

В дальнейших задачах плотность распределения масс предполагаем постоянной.

7) Найти притяжение центра основания цилиндра всей массой цилиндра (рис. 105).

При обозначениях рис. 105 имеем [см. 648, (17)]

«остальные две слагающие притяжения равны 0, так что притяжение направлено вертикально вверх.

8) Найти притяжение конусом его вершины (рис. 106).

Ответ,

9) Найти притяжение, испытываемое любой точкой А (массы 1) со стороны сферы (рис. 107).

Рис. 106.

Рис. 107.

Решение. Обозначим радиус сферы через , а расстояние О А через а Оси координат расположим так, чтобы положительное направление оси проходило через точку А. Тогда

Внутренний интеграл легко вычислить путем перехода к полярным координатам. он равен

Затем,

Но

С помощью подстановки легко вычислить и второй интеграл:

Окончательно получаем, что

В то же время, очевидно, Итак, во всех случаях притяжение направлено к центру сферы.

При этом точка, находящаяся вне сферы испытывает со стороны последней такое же притяжение, какое испытывало бы, если бы в центре сферы была сосредоточена вся ее масса . С другой стороны, так как по отношению к точке, лежащей внутри сферы притяжение не зависит от (и имеет такую же величину, как и в случае то ясно, что наружный сферический слой не оказывает на внутреннюю точку никакого действия.

10) Найти потенциал цилиндра на центр его основания.

Указание. Здесь проще начать с интегрирования по х и у, причем двойной интеграл вычислить с привлечением полярных координат:

11) Найти потенциал конуса (а) на его вершину и на центр его основания.

Указание — то же.

Ответ,

12) Найти потенциал сферы на произвольную точку А.

Решение. При обозначениях задачи 9) имеем

Различая случаи имеем далее X

Таким образом,

Мы видим прежде всего, что потенциал на точку, лежащую вне сферы, таков же, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в его центре.

Вторая же из полученных формул приводит к такому следствию. Если рассмотреть полую сферу с внутренним радиусом и внешним радиусом то ее потенциал на точку, лежащую в полости представится в виде разности

и не зависит от а. Потенциал полой сферы в пределах полости сохраняет постоянную величину.

Рис. 108.

13) При обозначениях рис. 108 найти моменты инерции тора: [См. 648 (15).]

Указание. Имеем

где Двойные интегралы вычисля ются переходом к полярным координатам

Ответ,

14) Пусть тело вращается вокруг оси с угловой скоростью Тогда для элемента отстоящего от оси вращения на расстояние линейная скорость будет а следовательно кинетическая энергия

Отсюда легко получить выражение для кинетической энергии Г всего вращающегося тела:

Рис. 109.

В последнем интеграле мы узнаем выражение для момента инерции нашего тела относительно оси вращения [648 (15)]. Итак, окончательно имеем

15) Поставим теперь задачей вычислить момент инерции рассматриваемого тела (К) относительно произвольной оси и (рис. 109), составляющий координатными осями, соответственно, углы .

Для расстояния произвольной точки тела от оси имеем где, как известно из аналитической геометрии,

Так как получаем отсюда

Теперь ясно, что

где

Последние интегралы носят название произведений инерции или центробежных моментов [ср. 599, 5)].

Если пожелать наглядно изобразить распределение моментов инерции тела относительно различных осей, проходящих через начало, то аналогично как мы это делали для плоской фигуры, следует на каждой оси и отложить отрезок

(Пусть

будут координаты конца этого отрезка. Тогда из найденного для выражения легко получить уравнение геометрического места точек

Так как не обращается в бесконечность, то эта поверхность второго порядка необходимо является эллипсоидом; она носит название эллипсоида инерции. При исследовании движения твердого тела важную роль играют оси эллипсоида инерции, называемые главными осями инерции; если точка О есть центр тяжести тела, то соответствующие оси инерции называются главными центральными осями инерции.

Будет ли та или другая из координатных осей главной осью инерции, зависит от центробежных моментов. Например, для того чтобы ось х была главной осью инерции, необходимо и достаточно выполнение условий

В частности, они выполняются, если массы расположены симметрично относительно плоскости

16) Рассмотрим, в заключение, вопрос о центробежной силе, развивающейся при вращении твердого тела вокруг оси.

Если тело (V) вращается вокруг оси с угловой скоростью то на элемент тела будет действовать элементарная центробежная сила величины

где есть расстояние элемента от оси вращения. Ее проекции на координатные оси будут

так что проекции результирующей центробежной силы выразятся интегралами

где — статические моменты нашего тела. Если через обозначить координаты центра тяжести тела, то эти формулы перепишутся так:

Отсюда видно, что упомянутая результирующая центробежная сила в точности такова, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре тяжести.

Элементарная центробежная сила, о которой выше была речь, имеет следующие моменты относительно координатных осей:

Следовательно, результирующие моменты относительно этих осей будут:

Для того чтобы центробежные силы взаимно уравновешивались и не оказывали никакого действия на вал (а через его посредство — на подшипники, в которых он укреплен), необходимы и достаточны условия:

Первые два означают, что центр тяжести тела должен лежать на оси пусть это и будет начало О. Последние же два показывают, что ось должна быть одной из главных осей инерции. Итак, центробежная сила не производит давления на подшипники лишь при условии, если ось вращения совпадает с одной из главных центральных осей инерции вращающегося тела.