690. Примеры.

Функции, которые ниже приводятся в виде примеров, как правило, относятся к классу дифференцируемых или кусочно-дифференцируемых. Поэтому самая возможность их разложения в ряд Фурье — вне сомнения, и мы на этом вопросе останавливаться не будем.

1) Разложить функцию

в промежутке

По формулам (1):

Итак, для будем иметь

Если бы мы исходили из промежутка то получилось бы разложение с иными коэффициентами — в этом случае нужно было бы пользоваться формулами (1*). Впрочем, новое разложение легко вывести и из уже найденного.

2) Разложить функцию

в промежутке

По формулам (1:

Таким образом, мы приходим к замечательному по простоте разложению, содержащему одни лишь синусы:

При сумма ряда равна нулю, и равенство нарушается. Не будет равенства и вне указанного промежутка. График суммы ряда (рис. 124) состоит из бесчисленного множества параллельных отрезков и ряда отдельных точек на оси х.

Рис. 124.

3) Ввиду особой важности разложения, полученного в предыдущем упражнении, мы дадим элементарный вывод его, не опирающийся на общую теорию.

Пусть Воспользовавшись формулой (26) п° 680, которую мы можем написать так:

имеем последовательно:

Но при второй член в последней части равенства стремится к 0 по основной лемме п° 682, а третий член подстановкой и

преобразуется к виду

и, очевидно, стремится к Отсюда

что и требовалось доказать.

4) Из разложения в 2) уже без вычислений можно получить и другие интересные разложения. Заменяя в нем х на и деля обе части равенства на 2, найдем:

вычитая же одно разложение из другого, получим:

Если через обозначить сумму последнего ряда, то

Рис. 125.

Изменяя знак х, для промежутка по нечетности синуса найдем, что для прочих же значений х сумма получается по закону периодичности, так что, в частности, для промежутка снова График функции изображен на рис. 125; рисунок же 126 характеризует постепенное приближение к этой разрывной функции частичных сумм ряда.

Если положить в рассматриваемом разложении то получим уже известный нам ряд Лейбница

При получаются ряды:

Сочетая полученное здесь разложение с разложением в 2), легко прийти к ряду для функции

Рис. 126.

Непосредственно мы получаем его лишь для но равенство явно имеет место для и, кроме того, обе его части, очевидно, представляют нечетные функции, так что окончательно разложение оказывается верным

для всего промежутка График суммы ряда при изменении х от до легко себе представить по рис. 127.

Рис. 127.

Рис. 128.

На рис. 128 приведен график частичной суммы:

5) Опираясь на разложение в 2), доказать, что на всей вещественной оси

6) Разложить (четную!) функцию в ряд по косинусам в промежутке

По формулам (19):

так что

График суммы ряда, состоящий из бесконечного числа примыкающих одна к другой параболических дуг, изображен на рис. 129.

Рис. 129.

Полагая в полученном разложении или придем к известным результатам:

которые, впрочем, и непосредственно вытекают один из другого.

7) Разложить функции:

по косинусам в

по синусам в

(число а здесь предполагается не целым).

(а) Имеем

так что

(б) Ответ.

Отметим попутно, что при из (а) получается:

или, если положить

(здесь — любое число, отличное от кратного Мы вновь пришли к разложению функции на простые дроби. Полагая же в мы можем восстановить разложение на простые дроби функции Весьма замечательно, что столько важных математических фактов получается просто как следствие отдельных тригонометрических разложений!

8) Разложения функций

по косинусам в

по синусам

проще всего получить из разложения в 1) функции для которой они служат четной и нечетной составляющими [689]. Они имеют вид:

Как следствие отсюда можно получить разложения на простые дроби функций — и

Перейдем к примерам разложений функций, заданных в промежутке от 0 до , по косинусам или по синусам [689].

9) Функцию в промежутке разложить по косинусам. По формулам (19):

т. е.

Искомое разложение имеет вид:

Рис. 130.

График суммы ряда представлен на рис. 130 [ср. разложение в 4) той же функции по синусам и график на рис. 127]. На рис. 131 изображена аппроксимирующая кривая:

Комбинируя полученный результат с разложением в 6) функции по косинусам, легко установить:

Впрочем, так как обе части равенства не меняют своего значения при замене х на то на деле равенство сохраняется и в более широком промежутке

Рис. 131.

10) Функцию в промежутке (0, те) разложить по синусам. Ответ.

где

Предоставляется читателю составить график для суммы ряда и сопоставить его с графиком на рис. 129.

11) Разложить функцию в промежутке от 0 до в ряд по косинусам и в ряд по синусам.

Ответ.

12) Разложить функции

по косинусам в

по синусам в .

(а) Решение. Предположим сначала, что а — число не целое.

Тогда

Искомое разложение можно написать в виде:

Пусть теперь а — целое число. Здесь снова придется различать случаи, когда есть четное число или нечетное число. При

так что

Аналогично при

(б) Указание. Следует различать те же случаи, что и в (а).

13) Доказать, что для

Указание. Разлагая в ряд Фурье функцию приведенную в правой части, при повторном интегрировании по частям учесть, что

14) Рассмотрим теперь примеры разложения функций, интегрируемых в несобственном смысле. Пусть требуется разложить по косинусам в промежутке четную функцию

На концах промежутка функция обращается в но сохраняет (абсолютную) интегрируемость.

По формуле (19):

[см. 492, 1°], если для

(замена x на Для вычисления последнего интеграла представим подинтегральную функцию в виде суммы:

а каждое из слагаемых, в силу тождества заменим, соответственно, суммой:

Окончательно

и искомое разложение имеет вид:

Можно считать, что это равенство имеет место и при если в этом случае обеим его частям приписать значение — Если под знаком вместо косинуса написать его абсолютную величину, то равенство будет справедливо для всех вещественных значений

Заменяя в установленном равенстве х на придем к другому интересному разложению:

Относительно распространения этой формулы можно сделать те же замечания, что и выше.

Приведем в заключение примеры разложения «склеенных» функций, которые в разных частях промежутка задаются разными аналитическими выражениями

15) Пусть

Разложить эту функцию в полный ряд Фурье.

Имеем по формулам

т. е.

Аналогично

Разложение будет таково:

16) Функции

разложить в промежутке от 0 до по косинусам.

Впрочем, здесь нет ничего принципиально нового по сравнению с уже изученными примерами: ведь, скажем, сумма ряда в 2) также может рассматриваться, как функция, «склеенная» из ряда линейных функций (ср. рис. 124).

(кликните для просмотра скана)

Ответ.

19) Доказать, что сумма ряда

равна для для

Рис. 132.

20) Вокруг трех вершин правильного шестиугольника (через одну) радиусами, равными стороне а шестиугольника; описаны окружности; из их внешних дуг составляется трилистник (рис. 132). Написать полярное уравнение трилистника, если за полюс принят центр шестиугольника, а полярная ось проведена через центр одного из кругов.

Указание. где четная функция определяется равенствами:

Разложить эту функцию по косинусам.

Ответ.

21) Использовав уже известные разложения, доказать, что

22) Если заданная в промежутке функция удовлетворяет условию

то в первом случае все а во втором — все

Доказать это [либо исходя из формул (1), либо опираясь на четность или нечетность периодически продолженной функции].

Замечание. Теперь ясно, что особенности разложения в промежутке функций можно было бы предвидеть, так как

23) Доказать, что если в промежутке функция удовлетворяет условию

то в первом случае а во втором

24) Ограничиваясь функциями, заданными в промежутке доказать, что условие влечет равенства (при разложении по косинусам) или (при разложении по синусам);

влечет равенства (при разложении по косинусам) или (при разложении по синусам).

Замечание. На этом основании можно было бы предвидеть особенности разложений по синусам функций и в 4), функций по косинусам в 12), а также разложений в 13), 17) и 18).

25) Подражая рассуждениям п° 689 установить, что функцию заданную лишь в промежутке можно в нем с обычными оговорками разложить по косинусам или по синусам одних лишь четных кратных или одних нечетных кратных х. Вывести формулы для коэффициентов, приложить их к примерам.

26) Пусть задана функция имеющая период — ее коэффициенты Фурье. Требуется выразить через них коэффициенты Фурье «смещенной» функции

Используя замечание в 681 насчет интеграла от периодической функции имеем:

и, аналогично,