646. Вычисление тройного интеграла по любой области.

Как и в п° 596, общий случай интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области (V), то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем (V) прямоугольном параллелепипеде (7), полагая

Рис. 99.

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Мы остановимся на случаях, пред ставляющих наибольший интерес. Пусть тело (V) содержится между плоскостями и каждою параллельною им плоскостью, отвечающею фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость

(рис. 99). Тогда

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы (8).

Пусть, далее, тело (V) представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру (D), ограниченную кривой (К) с площадью 0; с боков тело (V) ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси и с кривой (К) в роли направляющей (рис. 96). Тогда аналогично формуле (11) имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего — интеграла справа.

Рис. 100.

Если область (D) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис. 100) и прямыми то тело (V) подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл — то ли в формуле то ли в формуле (11 — повторным, получим

Эта формула обобщает формулу (10)

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных