687. Случай непериодической функции.

Вся построенная выше теория исходила из предположения, что заданная функция определена для всех вещественных значений х и притом имеет период . Между тем, чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией иной раз даже заданной только в промежутке

Чтобы иметь право применить к такой функции изложенную теорию, введем взамен нее вспомогательную функцию определенную следующим образом. В промежутке мы отождествляем

затем полагаем

а на остальные вещественные значения распространяем функцию по закону периодичности.

К построенной таким образом функции с периодом можно уже применять доказанные теоремы разложения. Однако если речь идет о точке лежащей строго между то [при проверке условий этих теорем нам пришлось бы иметь дело ввиду (15) лишь с фактически заданной функцией По той же причине и коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (1), не переходя к функции Короче говоря, все доказанное выше непосредственно переносится на заданную функцию , минуя вспомогательную функцию

Особого внимания, однако, требуют концы промежутка При проверке для функции условий какой-либо из теорем пп° 684, 686, скажем в точке нам пришлось бы иметь дело как со значениями вспомогательной функции слева от где они совпадают с соответственными значениями данной функции. так и со значениями справа от где они совпадают уже со значениями справа от тт. Поэтому, если бы мы пожелали перефразировать для случаев точек например, признак Дирихле — Жордана, то нам в обоих случаях следовало бы потребовать, чтобы имела ограниченное изменение как слева от так и справа от . При этом в качестве значения 50 в обоих же случаях надлежало бы взять

Таким образом, если заданная функция даже непрерывна но не имеет периода так что

то при соблюдении какого-либо из достаточных для сходимости ряда Фурье условий суммой этого ряда будет число

отличное как от так и от Для такой функции разложение может иметь место лишь в открытом промежутке

Следующее замечание заслуживает серьезного внимания читателя. Если тригонометрический ряд (2) сходится в промежутке к функции то ввиду того, что его члены имеют период он сходится всюду, и сумма его оказывается тоже периодической функцией от с периодом Но эта сумма вне указанного промежутка вообще уже не совпадает с функцией (если последняя была задана на всей вещественной оси). Ниже [690] это замечание будет проиллюстрировано многочисленными примерами.

Отметим, наконец, что вместо промежутка можно было бы взять любой промежуток длины .