683. Принцип локализации.

Вторым непосредственным же следствием доказанной леммы является так называемый «принцип локализации».

Взяв произвольное положительное число разобьем интеграл в (4) на два: Если второй из них переписать в виде:

то станет ясно, что множитель при синусе является абсолютно интегрируемой функцией от t в промежутке ибо знаменатель в этом промежутке в нуль не обращается. В таком случае по лемме этот интеграл при стремится к нулю, так что и самое существование предела для частичной суммы ряда Фурье, и величина этого предела целиком определяются поведением одного лишь интеграла

Но в этот интеграл входят лишь значения функции отвечающие изменению аргумента в промежутке от до Этим простым соображением и доказывается „принцип локализации“, состоящий в следующем:

Теорема Римана. Поведение ряда функции в некоторой точке зависит исключительно от значений, принимаемых функцией в непосредственной близости рассматриваемой точки, т. е. в сколь угодно малой ее окрестности.

Таким образом, если, например, взять две функции, значения которых в произвольно малой окрестности точки совпадают, то как бы они ни разнились вне этой окрестности, соответствующие этим функциям ряды Фурье ведут себя в точке одинаково: либо оба сходятся, и притом к одной и той же сумме, либо

оба расходятся. Этот результат покажется еще более разительным, если подчеркнуть, что самые коэффициенты Фурье рассматриваемых функций, зависящие от всех их значений, могут оказаться совершенно различными!

Эта теорема обычно связывается с именем Римана, ибо является следствием более общей его теоремы, доказанной в 1853 г. Следует, однако, отметить, что идея „принципа локализации содержится в одной работе Остроградского 1828 г. по математической физике, а также отражена в исследованиях Лобачевского 1834 г. по тригонометрическим рядам.