553. Связь между криволинейными интегралами обоих типов.

Рассмотрим гладкую кривую и, выбрав в качестве параметра дугу представим ее уравнениями

Функции будут иметь непрерывные производные Если через а обозначить угол, составленный с осью х касательной, направленной в сторону возрастания дуг, то, как известно [249 (15)]

Если вдоль кривой (К) задана непрерывная функция то последовательно имеем

и криволинейный интеграл второго типа оказался сведенным к криволинейному интегралу первого типа.

Аналогично получается

Если же заданы две непрерывные вдоль кривой (К) функции , то

Подчеркнем, что во всех этих формулах угол а связан с тем направлением касательной, которое отвечает направлению самой кривой (К). Если изменить направление кривой, то не только интеграл слева изменит знак: ввиду изменения направления касательной угол а изменится на в связи с чем изменит знак и интеграл справа.

Очевидно, выведенные формулы остаются справедливыми и для кусочно-гладкой кривой без кратных и особых точек; в этом легко убедиться, если написать их для каждого из гладких кусков кривой и почленно сложить.

В виде упражнения предложим себе преобразовать формулу (11) для площади к криволинейному интегралу первого типа:

Если перейти к полярным координатам , то получим, далее,

Заметив, что есть угол между радиусом-вектором точки и касательной в ней, можно придать формуле такой окончательный вид:

Аналогичные соображения можно развить и для криволинейных интегралов по пространственной кривой. В результате получится формула

где суть направляющие косинусы касательной, в предположении, что ее направление отвечает направлению пути интегрирования.

Для случая плоской кривой иногда удобна формула, связывающая криволинейные интегралы обоих типов и содержащая угол между

осью х и нормалью к кривой, на которую распространены интегралы. Если приписать нормали такое направление, чтобы угол между касательной и нормалью был равен так что

то

Тогда, например, формула (14) может быть написана в виде