547. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа.

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

причем функции непрерывны, и при изменении параметра t от а до кривая описывается именно в направлении от А к В. Функцию вдоль кривой также будем предполагать непрерывной.

Если речь идет об интеграле (1), то дополнительно обусловим еще существование и непрерывность производной

При этих предположениях криволинейный интеграл (1) существует, и имеет место равенство

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла (1) надлежит заменить в подинтегральной функции переменные их выражениями (3) через параметр, а множитель — дифференциалом переменной х, как функции от параметра. Порядок расстановки пределов в последнем интеграле отвечает на этот раз выбранному на кривой направлению.

Переходим к доказательству. Пусть точки взятые на кривой, определяются значениями параметра, а

выбранная на дуге точка значением (очевидно, лежащим между ). Тогда интегральная сумма

если учесть, что

может быть переписана в виде

С другой стороны, и интеграл в (4) справа можно представить в виде суммы:

Отсюда

Задавшись произвольным предположим теперь все настолько малыми, чтобы в промежутках колебания непрерывной функции были . Так как непрерывная функция ограничена то будем иметь

Таким образом, при стремлении к 0 величины

чем одновременно доказано как существование криволинейного интеграла, так и требуемое равенство.

Переходя к интегралу (2), подобным же образом можно установить его существование и доказать формулу

при условии существования непрерывной производной Наконец, если речь идет об интеграле общего вида

где суть непрерывные функции, то на кривую наложим требование, чтобы обе функций (3) имели непрерывные производные. В этом предположении будет справедлива формула

Определение криволинейного интеграла и указанный здесь способ сведения его к обыкновенному определенному интегралу непосредственно распространяются и на случай кривой (3), которая сама себя пересекает, если только направление на ней по-прежнему определяется монотонным изменением параметра t от а до .

В заключение укажем некоторые случаи, когда вычисление криволинейного интеграла представляется особенно простым. Пусть интеграл (1) берется по кривой, заданной явным уравнением:

причем перемещение точки из А и В происходит при изменении х от а до Тогда без каких-либо предположений о кривой, кроме ее непрерывности, имеем

Аналогично, если интеграл (2) распространяется на непрерывную кривую, заданную явным же уравнением, но другого типа:

(где у изменяется от с до то

Наконец, если интеграл (1) распространяется на прямолинейный отрезок параллельный оси у, то он равен О (ибо в этом случае равны 0 все а с ними и все суммы а). Аналогично равен 0 и интеграл (2), взятый по прямолинейному отрезку, параллельному оси х.

Если путь интегрирования распадается на конечное число примыкающих одна к другой кривых и вдоль каждой из них в отдельности кривелинейный интеграл существует и вычисляется по одной из указанных формул, то, как легко показать, существует интеграл вдоль всей кривой (К) и равен сумме интегралов по ее частям.

Рис. 4