658. Дополнительные замечания.

1°. На поверхностях (Е) и (5) мы фиксировали определенные стороны, именно, внешние по отношению к ограниченным ими телам. В связи с этим для названных поверхностей установлены и определенные ориентации [620]. Если точка на поверхности (Е) опишет простой замкнутый контур, разделяющий поверхность, и мы остановимся на любой из двух ограничиваемых им областей, то соответствующая ей по формулам (1) точка на поверхности опишет подобный же контур, причем на этот раз нам не придется производить выбор из двух областей, ибо этот выбор осуществится сам собою по тому же закону соответствия (1). Если направление обхода первого контура с точки зрения ориентации поверхности (Е) было, скажем, положительным, то направление обхода второго контура, если исходить из ориентации поверхности может оказаться как положительным, так и отрицательным. В первом случае мы будем говорить, что ориентации обеих поверхностей соответствуют одна другой по формулам преобразования, а во втором — что они не соответствуют.

Так как мы с самого начала считали ориентацию поверхности отвечающей ориентации плоскости то тот или другой случай имеет место в зависимости от того, будет ли ориентация поверхности (Е) отвечать ориентации плоскости или нет. С этим, в свою очередь, был связан выбор того или иного знака перед интегралом в формуле для объема. Но в конце обнаружилось, что упомянутый знак совпадает со знаком якобиана.

Сопоставляя все сказанное, мы приходим к заключению:

В зависимости от того, сохраняет ли якобиан положительный или отрицательный знак, ориентации обеих поверхностей (Е) и (5) оказываются соответствующими одна другой по формулам преобразования (1) или нет.

2°. Применяя к формуле (8) теорему о среднем, получаем соотношение

где есть некоторая точка из области , а объем этой области. Отсюда легко вывести, что при стягивании области к точке будем иметь [ср. и 644, 8°]:

так что абсолютная величина якобиана есть коэффициент растяжения пространства (в данной его точке) при преобразовании его в пространство

3°. Формула выведена при известных предположениях (взаимно однозначное и непрерывное соответствие между областями (D) и и т. д.). Однако, как и в 606, 4°, можно показать, что нарушение этих условий в отдельных точках или вдоль отдельных линий и поверхностей не мешает формуле быть верной, лишь бы якобиан оставался ограниченным или, по крайней мере, интегрируемым (хотя бы в несобственном смысле).