578. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.

Пусть функция непрерывна в промежутке , a монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег (Н. Lebesgue), интеграл Стилтьеса с помощью подстановки непосредственно приводится к интегралу Римана.

На рис. 29 изображен график функции . Для тех значений при которых функция испытывает скачок (ибо мы вовсе не предполагаем обязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки Так создается непрерывная линия, которая каждому значению между относит одно определенное значение х между а и Эта функция очевидно, будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; ее можно рассматривать как своего рода обратную для функции

Рис. 29.

Именно, если ограничиться лишь теми значениями которые функция действительно принимает при изменении х от а до то является обратной для нее в обычном смысле, т. е. относит именно то значение х, при котором Но из промежутка значений

связанного со скачком функции лишь одно значение имеет себе соответствующим значение другим значениям в упомянутом промежутке никакие значения х, очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение геометрически это и выразилось в дополнении графика функции рядом вертикальных отрезков.

Докажем теперь, что

где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция а с нею и сложная функция непрерывна.

С этой целью разложим промежуток на части с помощью точек деления

и составим стилтьесову сумму

Если положить то будем иметь

Так как то

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла

Отсюда, однако, нельзя еще непосредственно заключить, переходя к пределу, о равенстве (10), ибо даже при может оказаться, что к нулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимися будет заключено значение где функция испытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе.

Имеем

и

так что

Предположим теперь настолько малыми, чтобы колебания функции во всех промежутках были меньше произвольного наперед заданного числа Так как

то одновременно и

В таком случае

Этим доказано, что

откуда и следует (10).

Несмотря на принципиальную важность полученного результата, он не дает практически удобного средства для вычисления интеграла Стилтьеса. Как осуществлять это вычисление в некоторых простейших случаях, мы покажем в следующем п°.