Главная > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

554. Физические задачи.

Остановимся в заключение на нескольких физических задачах, в которых криволинейные интегралы находят себе применение.

1) Работа силового поля. Пусть в каждой точке М плоскости (или определенной части плоскости) на помещенную в нее единицу массы действует определенная сила величина и направление которой зависят только от положения точки если масса помещенной в точке М материальной точки отлична от единицы, то действующая на нее сила будет равна При этих условиях плоскость (или рассматриваемая ее часть) называется (плоским) силовым полем, а сила действующая на единицу массы, — напряжением поля. Задание силы по величине и направлению равносильно заданию ее проекций на оси, очевидно, являющихся функциями от координат х, у точки М:

Рис. 14.

Если обозначить через угол, составленный вектором с осью х, то (рис. 14)

Предположим теперь, что материальная точка М с единичной массой, находящаяся в поле, движется и описывает некоторую непрерывную кривую (К) в определенном направлении. Задача состоит в вычислении работы А, которую при этом движении совершают силы поля.

Если бы действующая на точку сила сохраняла постоянную величину и постоянное направление, а само перемещение точки происходило прямолинейно, то, как известно, работа А выразилась бы произведением перемещения I на проекцию силы на направление перемещения:

где - угол между силой и направлением перемещения.

В случае непрямолинейного движения и непостоянной силы работа определяется с помощью некоторого предельного процесса. Можно, впрочем, прибегнуть для краткости к привычному в приложениях «методу суммирования бесконечно малых» [ср. 348]. Станем определять положение точки М на кривой (К) (рис. 15) длиной дуги Рассмотрим бесконечно малый элемент кривой и будем приближенно считать, что сила и угол на перемещении сохраняют свою величину. Тогда соответствующий элемент работы будет

Рис. 15.

Теперь остается лишь «просуммировать» эти элементы вдоль всей кривой (К), в результате чего работа А выразится криволинейным интегралом первого типа:

Введем угол а между направлением элемента направлением касательной к кривой в точке М) и осью х. Очевидно, так что

и элемент интеграла пишется так: или, ввиду (16):

Само выражение (17) для работы примет вид:

Если теперь учесть формулу (14), устанавливающую связь между криволинейными интегралами обоих типов, то, окончательно, работа силового поля выразится к волинейным интегралом второго типа:

Это и есть наиболее употребительное выражение для работы, удобное для исследования ряда важных, связанных с нею вопросов: зависит ли произведенная работа от формы траектории, соединяющей данные две точки; будет ли работа по замкнутой траектории всегда равна нулю (об этом см. ниже п° 555-562).

2) Плоское установившееся течение несжимаемой жидкости. Такое движение характеризуется тем, что, во-первых, все частицы, лежащие на одной вертикали к некоторой плоскости, имеют одну и ту же скорость, параллельную этой плоскости, так что для характеристики всего движения достаточно изучить движение в одной лишь плоскости и, во-вторых, скорость с частицы жидкости зависит только от положения частицы, но не от времени. Таким образом, с каждой геометрической точкой рассматриваемой плоскости (или ее

части) связана определенная по величине и направлению скорость; иными словами, задано некоторое «поле скорости».

Если обозначить угол, составленный вектором с с осью х, через , а проекции этого вектора на координатные оси (слагающие скорости по осям) через и и то (рис. 16, а)

Возьмем теперь в плоскости какую-нибудь кривую (К) и постараемся определить количество жидкости, протекающей через нее в определенную от нее сторону в единицу времени. Предполагая жидкость несжимаемой, можно количество жидкости измерять площадью закрытой ею фигуры.

Рис. 16.

Если фактически жидкость течет в сторону, противоположную выбранной, то количество протекающей жидкости будем считать отрицательным.

Рассмотрим элемент кривой (К). За время через этот элемент протечет количество жидкости, равное

где есть проекция скорости с на нормаль к элементу направленную в выбранную сторону от кривой. Действительно, это количество равно площади параллелограмма со сторонами высотой которого как раз и является произведение (рис. 16, б). Для подсчета количества жидкости, протекающей через элемент в единицу времени, суммируем выражения (19) по элементам что дает Суммируя же найденные выражения по всем элементам кривой мы представим искомое количество жидкости в виде криволинейного интеграла первого типа

Если угол между осью х и нормалью к кривой есть , то угол между нормалью и скоростью с будет

поэтому

и выражение (20) принимает вид

Теперь, согласно формуле (15) п" 553, этот интеграл можно представить и в форме криволинейного интеграла второго типа:

причем важно подчеркнуть, что направление на этой кривой должно быть взято так, чтобы угол между соответствующим направлением касательной и выбранным заранее направлением нормали был равен [ибо именно в этом предположении и выведена была формула (15)].

Если (К) есть замкнутый контур и интеграл (22) считать взятым (как обычно, 548) в положительном направлении, то нормаль в формуле (22) должна была бы быть направлена внутрь области; ограниченной контуром (К) (чтобы было соблюдено упомянутое только что условие). Следовательно, в этом случае формула (22) дает количество жидкости, протекающей через контур (К) в единицу времени внутрь области. Если желаем получить количество жидкости, вытекающей наружу из области, ограниченной контуром (К), то следует лишь в формуле (22) изменить знак.

Далее, если поле не имеет ни «источников», ни «стоков» жидкости, то в любой ограниченной области количество жидкости остается постоянным. Поэтому, какую бы замкнутую кривую ни взять, интеграл (22), взятый по ней, должен быть равен нулю.

Итак, если суть слагающие скорости в плоском установившемся течении несжимаемой жидкости, то при отсутствии источников и стоков

каков бы ни был замкнутый контур

Впоследствии [566, 2)] мы увидим, что этот результат, полученный с помощью физических соображений, позволяет дать и некоторую аналитическую характеристику функций

3) Тепло, поглощенное газом. Рассмотрим некоторую массу, например, 1 моль газа. Состояние газа характеризуется тремя величинами: его объемом V, Давлением и абсолютной температурой Т. Если считать газ идеальным, то эти три величины оказываются связанными между собой уравнением Клапейрона:

где есть постоянная. Таким образом, любая из величин может быть выражена через две другие. Поэтому для определения состояния газа достаточно знать две из этих величин. Пусть это будут, например, V и . Тогда точка с абсциссой V и ординатойр служит изображением состояния газа. Если состояние газа меняется от начального состояния, отвечающего точке А, до конечного состояния, определяемого точкой В, то весь процесс изменения характеризуется кривой устанавливающей последовательность непрерывно меняющихся состояний.

Поставим теперь себе задачу установить, какое количество тепла U (кал) поглощается данной массой газа во время всего этого процесса, характеризуемого кривой (К). С этой целью, как обычно, рассмотрим некоторый «бесконечно малый» элементарный процесс, переводящий газ из состояния в бесконечно близкое состояние Ему отвечает элемент кривой Определение того элементарного количества тепла которое при этом ему было сообщено, мы однажды уже произвели [при выводе формулы Пуассона, 361, 3)]. Воспользуемся полученным там выражением:

Для того чтобы найти общее количество тепла сообщенное газу в течение всего процесса его изменения, характеризуемого кривой (К), остается лишь «просуммировать» Элементы вдоль этой кривой:

Итак, количество тепла непосредственно выражается криволинейным интегралом второго типа.

Рис. 17.

Если бы мы выражали элементарное приращение тепла не через а через или через , то и тогда дело свелось бы к криволинейному интегралу, который, однако, пришлось бы брать по кривой, ежащей, соответственно, в плоскости или

4) Действие тока на магнит. Закон Био и Савара, характеризующий действие тока на магнит, имеет «дифференциальную» форму. Согласно этому закону, элемент проводника, по которому идет ток силы I, действует на отстоящую от него на расстояние «магнитную массу» с силой, величина которой равна

где есть угол между вектором соединяющим магнитный полюс с элементом тока, и направленным в сторону течения тока элементом проводника. Направление же этой элементарной силы перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами и идет в ту сторону, с которой вращение от на угол кажется происходящим против часовой стрелки. [Ср. 356, 8).]

Поставим себе задачей охарактеризовать магнитное поле тока, идущего по конечному замкнутому проводнику (К) произвольной формы и произвольно расположенному в пространстве; иными словами, установить силу, с которой весь этот проводник в целом действует на «магнитную массу» помещенную в любой точке М пространства. Получение закона Био и Савара в «интегральной» форме затрудняется, однако, тем обстоятельством, что отдельные элементарные силы, о которых была речь выше, по-разному направлены и складывать их надо геометрически.

В подобном случае обычно переходят, к проекциям векторов на оси какой-либо прямоугольной системы координат в пространстве, ибо проекции элементарных сил складываются уже алгебраически,

Для упрощения выкладок используем аппарат векторной алгебры. Если переписать выражение (24) для величины элементарной силы в виде

то легко заметить, что оно лишь множителем отличается от величины векторного произведения Так как и направление определяемое законом Био и Савара, совпадает с направлением этого произведения, то можно написать

Рассмотрим теперь произвольную (правую) прямоугольную координатную систему Если через х, у, z обозначить координаты (начальной точки) элемента , а через — координаты рассматриваемой точки М пространства, то проекциями вектора на оси будут

вектор же имеет проекции

В таком случае проекциями будут произведения множителя соответственно, на

Таким образом, суммируя по всем элементам кривой (К), окончательно получим выражения для проекций искомой силы на оси в виде криволинейных интегралов по пространственной кривой (К)

причем направление на кривой определяется направлением течения тока. Это и дает решение нашей задачи.

1
Оглавление
email@scask.ru