554. Физические задачи.

Остановимся в заключение на нескольких физических задачах, в которых криволинейные интегралы находят себе применение.

1) Работа силового поля. Пусть в каждой точке М плоскости (или определенной части плоскости) на помещенную в нее единицу массы действует определенная сила величина и направление которой зависят только от положения точки если масса помещенной в точке М материальной точки отлична от единицы, то действующая на нее сила будет равна При этих условиях плоскость (или рассматриваемая ее часть) называется (плоским) силовым полем, а сила действующая на единицу массы, — напряжением поля. Задание силы по величине и направлению равносильно заданию ее проекций на оси, очевидно, являющихся функциями от координат х, у точки М:

Рис. 14.

Если обозначить через угол, составленный вектором с осью х, то (рис. 14)

Предположим теперь, что материальная точка М с единичной массой, находящаяся в поле, движется и описывает некоторую непрерывную кривую (К) в определенном направлении. Задача состоит в вычислении работы А, которую при этом движении совершают силы поля.

Если бы действующая на точку сила сохраняла постоянную величину и постоянное направление, а само перемещение точки происходило прямолинейно, то, как известно, работа А выразилась бы произведением перемещения I на проекцию силы на направление перемещения:

где - угол между силой и направлением перемещения.

В случае непрямолинейного движения и непостоянной силы работа определяется с помощью некоторого предельного процесса. Можно, впрочем, прибегнуть для краткости к привычному в приложениях «методу суммирования бесконечно малых» [ср. 348]. Станем определять положение точки М на кривой (К) (рис. 15) длиной дуги Рассмотрим бесконечно малый элемент кривой и будем приближенно считать, что сила и угол на перемещении сохраняют свою величину. Тогда соответствующий элемент работы будет

Рис. 15.

Теперь остается лишь «просуммировать» эти элементы вдоль всей кривой (К), в результате чего работа А выразится криволинейным интегралом первого типа:

Введем угол а между направлением элемента направлением касательной к кривой в точке М) и осью х. Очевидно, так что

и элемент интеграла пишется так: или, ввиду (16):

Само выражение (17) для работы примет вид:

Если теперь учесть формулу (14), устанавливающую связь между криволинейными интегралами обоих типов, то, окончательно, работа силового поля выразится к волинейным интегралом второго типа:

Это и есть наиболее употребительное выражение для работы, удобное для исследования ряда важных, связанных с нею вопросов: зависит ли произведенная работа от формы траектории, соединяющей данные две точки; будет ли работа по замкнутой траектории всегда равна нулю (об этом см. ниже п° 555-562).

2) Плоское установившееся течение несжимаемой жидкости. Такое движение характеризуется тем, что, во-первых, все частицы, лежащие на одной вертикали к некоторой плоскости, имеют одну и ту же скорость, параллельную этой плоскости, так что для характеристики всего движения достаточно изучить движение в одной лишь плоскости и, во-вторых, скорость с частицы жидкости зависит только от положения частицы, но не от времени. Таким образом, с каждой геометрической точкой рассматриваемой плоскости (или ее

части) связана определенная по величине и направлению скорость; иными словами, задано некоторое «поле скорости».

Если обозначить угол, составленный вектором с с осью х, через , а проекции этого вектора на координатные оси (слагающие скорости по осям) через и и то (рис. 16, а)

Возьмем теперь в плоскости какую-нибудь кривую (К) и постараемся определить количество жидкости, протекающей через нее в определенную от нее сторону в единицу времени. Предполагая жидкость несжимаемой, можно количество жидкости измерять площадью закрытой ею фигуры.

Рис. 16.

Если фактически жидкость течет в сторону, противоположную выбранной, то количество протекающей жидкости будем считать отрицательным.

Рассмотрим элемент кривой (К). За время через этот элемент протечет количество жидкости, равное

где есть проекция скорости с на нормаль к элементу направленную в выбранную сторону от кривой. Действительно, это количество равно площади параллелограмма со сторонами высотой которого как раз и является произведение (рис. 16, б). Для подсчета количества жидкости, протекающей через элемент в единицу времени, суммируем выражения (19) по элементам что дает Суммируя же найденные выражения по всем элементам кривой мы представим искомое количество жидкости в виде криволинейного интеграла первого типа

Если угол между осью х и нормалью к кривой есть , то угол между нормалью и скоростью с будет

поэтому

и выражение (20) принимает вид

Теперь, согласно формуле (15) п" 553, этот интеграл можно представить и в форме криволинейного интеграла второго типа:

причем важно подчеркнуть, что направление на этой кривой должно быть взято так, чтобы угол между соответствующим направлением касательной и выбранным заранее направлением нормали был равен [ибо именно в этом предположении и выведена была формула (15)].

Если (К) есть замкнутый контур и интеграл (22) считать взятым (как обычно, 548) в положительном направлении, то нормаль в формуле (22) должна была бы быть направлена внутрь области; ограниченной контуром (К) (чтобы было соблюдено упомянутое только что условие). Следовательно, в этом случае формула (22) дает количество жидкости, протекающей через контур (К) в единицу времени внутрь области. Если желаем получить количество жидкости, вытекающей наружу из области, ограниченной контуром (К), то следует лишь в формуле (22) изменить знак.

Далее, если поле не имеет ни «источников», ни «стоков» жидкости, то в любой ограниченной области количество жидкости остается постоянным. Поэтому, какую бы замкнутую кривую ни взять, интеграл (22), взятый по ней, должен быть равен нулю.

Итак, если суть слагающие скорости в плоском установившемся течении несжимаемой жидкости, то при отсутствии источников и стоков

каков бы ни был замкнутый контур

Впоследствии [566, 2)] мы увидим, что этот результат, полученный с помощью физических соображений, позволяет дать и некоторую аналитическую характеристику функций

3) Тепло, поглощенное газом. Рассмотрим некоторую массу, например, 1 моль газа. Состояние газа характеризуется тремя величинами: его объемом V, Давлением и абсолютной температурой Т. Если считать газ идеальным, то эти три величины оказываются связанными между собой уравнением Клапейрона:

где есть постоянная. Таким образом, любая из величин может быть выражена через две другие. Поэтому для определения состояния газа достаточно знать две из этих величин. Пусть это будут, например, V и . Тогда точка с абсциссой V и ординатойр служит изображением состояния газа. Если состояние газа меняется от начального состояния, отвечающего точке А, до конечного состояния, определяемого точкой В, то весь процесс изменения характеризуется кривой устанавливающей последовательность непрерывно меняющихся состояний.

Поставим теперь себе задачу установить, какое количество тепла U (кал) поглощается данной массой газа во время всего этого процесса, характеризуемого кривой (К). С этой целью, как обычно, рассмотрим некоторый «бесконечно малый» элементарный процесс, переводящий газ из состояния в бесконечно близкое состояние Ему отвечает элемент кривой Определение того элементарного количества тепла которое при этом ему было сообщено, мы однажды уже произвели [при выводе формулы Пуассона, 361, 3)]. Воспользуемся полученным там выражением:

Для того чтобы найти общее количество тепла сообщенное газу в течение всего процесса его изменения, характеризуемого кривой (К), остается лишь «просуммировать» Элементы вдоль этой кривой:

Итак, количество тепла непосредственно выражается криволинейным интегралом второго типа.

Рис. 17.

Если бы мы выражали элементарное приращение тепла не через а через или через , то и тогда дело свелось бы к криволинейному интегралу, который, однако, пришлось бы брать по кривой, ежащей, соответственно, в плоскости или

4) Действие тока на магнит. Закон Био и Савара, характеризующий действие тока на магнит, имеет «дифференциальную» форму. Согласно этому закону, элемент проводника, по которому идет ток силы I, действует на отстоящую от него на расстояние «магнитную массу» с силой, величина которой равна

где есть угол между вектором соединяющим магнитный полюс с элементом тока, и направленным в сторону течения тока элементом проводника. Направление же этой элементарной силы перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами и идет в ту сторону, с которой вращение от на угол кажется происходящим против часовой стрелки. [Ср. 356, 8).]

Поставим себе задачей охарактеризовать магнитное поле тока, идущего по конечному замкнутому проводнику (К) произвольной формы и произвольно расположенному в пространстве; иными словами, установить силу, с которой весь этот проводник в целом действует на «магнитную массу» помещенную в любой точке М пространства. Получение закона Био и Савара в «интегральной» форме затрудняется, однако, тем обстоятельством, что отдельные элементарные силы, о которых была речь выше, по-разному направлены и складывать их надо геометрически.

В подобном случае обычно переходят, к проекциям векторов на оси какой-либо прямоугольной системы координат в пространстве, ибо проекции элементарных сил складываются уже алгебраически,

Для упрощения выкладок используем аппарат векторной алгебры. Если переписать выражение (24) для величины элементарной силы в виде

то легко заметить, что оно лишь множителем отличается от величины векторного произведения Так как и направление определяемое законом Био и Савара, совпадает с направлением этого произведения, то можно написать

Рассмотрим теперь произвольную (правую) прямоугольную координатную систему Если через х, у, z обозначить координаты (начальной точки) элемента , а через — координаты рассматриваемой точки М пространства, то проекциями вектора на оси будут

вектор же имеет проекции

В таком случае проекциями будут произведения множителя соответственно, на

Таким образом, суммируя по всем элементам кривой (К), окончательно получим выражения для проекций искомой силы на оси в виде криволинейных интегралов по пространственной кривой (К)

причем направление на кривой определяется направлением течения тока. Это и дает решение нашей задачи.