§ 3. Поверхностные интегралы первого типа

630. Определение поверхностного интеграла первого типа.

Поверхностные интегралы первого типа представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интегралы первого типа являются по отношению к простым определенным интегралам.

Строится это обобщение так. Пусть в точках некоторой двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности ограниченной кусочно-гладким контуром, определена функция Разобьем поверхность с помощью сети произвольно проведенных кусочно-гладких кривых на части Взяв в каждой части по произволу точку вычислим в этой точке значение функции

и, умножив его на площадь соответствующей части поверхности, составим сумму всех таких произведений:

которую мы будем называть — по сходству со многими ранее рассмотренными суммами — интегральной суммой.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называется поверхностным интегралом первого типа от функции по поверхности и обозначается символом

где напоминает об элементарных площадях