757. Замечание о пределе функции.

Говоря о пределе (1), мы условились одним лишь вполне определенным образом упорядочивать множество а с ним и множество значений функции Определение предела этой последней, построенное на рассмотрении упомянутого «стандартного» закона приближения х к а, оказалось равносильным тому определению, которое было дано в п° 52 «на языке

Можно было бы, однако, отказаться от «стандартизации» закона приближения а, предоставляя х изменяться вдоль множества или любой из его частей, сохраняющих а в качестве точки сгущения и упорядоченных по произвольному правилу, но так, что а является их пределом. Значения функции всякий раз упорядочиваются сообразно с х.

Таким образом, равенство (1) можно понимать и так:

по какому бы закону независимая переменная х ни стремилась к пределу а, функция всегда стремится к одному и тому же пределу А.

Это определение сближается с определением п° 53 «на языке последовательностей», лишь произвольная последовательность значений х, стремящаяся к а, здесь заметена вообще произвольным упорядоченным множеством, имеющим предел а.

Для доказательства равносильности только что приведенного определения и данного в предыдущем п° достаточно установить, что из существования предела (1) в смысле п° 62 следует сформулированное выше утверждение. Пусть же для любого найдется такое 8 О, что неравенство (2) выполняется, лишь только По какому бы закону х ни стремилось к а, по самому определению предела должно существовать такое значение А, что для будет тогда для тех же значений х выполнится и неравенство (2), т. е., действительно,

Такое же замечание можно было бы сделать и относительно функций двух (или нескольких) переменных.