619. Примеры.

1) Простейшим и наиболее важным примером двусторонней поверхности является поверхность, выражаемая явным уравнением в предположении, что функция непрерывна в некоторой плоской области (D) и допускает в ней непрерывные частные производные

В этом случае направляющие косинусы нормали к поверхности имеют выражение [234 (11)]

Выбрав перед радикалом определенный знак, мы тем самым устанавливаем во всех точках поверхности определенное направление нормали. Так как направляющие косинусы, в силу, сделанных предположений, будут непрерывными функциями координат точки, то и установленное направление нормали будет также непрерывно зависеть от положения точки. Отсюда ясно, что выбор знака перед радикалом в формулах для определяет сторону поверхностиъ том именно смысле, какой выше приписан этому понятию.

Если выберем перед радикалом знак плюс, то во всех точках поверхности

будет положительным, т. е. угол, составленный с осью Нормалью соответствующей выбранной стороне, будет острым. Таким образом, сторона поверхности, определяемая указанным выбором знака, оказывается верхней стороной. Напротив, выбор знака минус в выражениях, направляющих косинусов нормали характеризует нижнюю сторону поверхности (нормали составляют с осью тупые углы).

2) Рассмотрим теперь, более обще, произвольную простую незамкнутую гладкую поверхность заданную параметрическими уравнениями

причем параметры и, о изменяются в некоторой ограниченной области на плоскости Требование гладкости означает, что функции (1) непрерывны в вместе со своими частными производными и что на поверхности нет особых точек. Помимо этого (что особенно важно подчеркнуть), мы предположили поверхность простой, так что на ней нет кратных точек, и каждая точка поверхности получается лишь при одной паре значений параметров и,

Если через А, В, С обозначить, как обычно, определители матрицы

то, по предположению, всегда и направляющие косинусы нормали к поверхности выразятся известными формулами [234, (17)]:

И в этом случае выбор знака перед радикалом характеризует сторону поверхности, так что поверхность оказывается двусторонней. Действительно, раз знак выбран, формулы (2) каждой точке поверхности (так как ей отвечает одна лишь пара значений и, сопоставляют одно определенное направление нормали, которое при передвижении точки изменяется непрерывным образом.

При нарушении предположения об отсутствии кратных точек уже нельзя безоговорочно утверждать, что поверхность двусторонняя. Тогда кратной точке поверхности отвечают, по меньшей мере, две различные пары значений параметров, и может случиться, что при этих значениях формулы (2), даже если знак перед радикалом выбран одинаково, определяют противоположные направления нормали в точке Если это действительно так, то поверхность неверное будет односторонней. В самом деле, соединим точки на плоскости кривою тйтй тогда на поверхности в соответствии с ней мы получим замкнутую кривую, исходящую из и возвращающуюся в выйдя из с одним направлением нормали, мы после обхода этой кривой вернемся в уже с противоположным направлением!

3) Если гладкая поверхность оказывается замкнутой и ограничивает некоторое тело, то наличие у нее двух сторон — внешней и внутренней — ясно непосредственно. Допустим, что эта поверхность выражается уравнениями (1). Хотя на этот раз предположение о взаимно однозначном соответствии между точками поверхности и точками области не осуществимо в полной мере, но выбор знака в формулах (2) все же определяет сторону поверхности. Суть дела именно в том, что случай, о котором только что была речь, здесь заведомо невозможен.