684. Признаки Дин и и Липшица сходимости рядов Фурье.

Возвращаемся к прерванному исследованию поведения частичной суммы ряда Фурье, для которой мы получили интегральное выражение (4). Отметим, что упомянутое равенство имеет место для каждой функции удовлетворяющей поставленным условиям. Если, в частности, взять то и и из (4) получим, что

Умножая обе части этого равенства на постоянное число 50 — предполагаемую сумму нашего ряда, точное значение которой мы установим ниже, и вычитая результат из (4), найдем:

где для краткости положено

Если мы хотим установить, что действительно является суммой ряда, то для этого нужно доказать, что интеграл (8) при стремится к нулю.

Обратимся к выбору самого числа 50. Практически важны те случаи, когда (а) функция в точке непрерывна, либо имеет в этой точке с обеих сторон разве лишь разрывы первого рода (или скачки), так что оба предела существуют. Этими случаями мы впредь ограничимся и раз навсегда полагаем:

В различении случаев (а) и нет надобности, если в точке где налицо разрыв первого рода, выполняется равенство

Точки, где это условие соблюдено, иногда называют регулярными. Отметим, что так как

смотря по случаю, то при указанном выборе числа 50 всегда будет

Имея это в виду, сформулируем теперь

Признак Дина. (U. Dini) Ряд Фурье функции в точке сходится к сумме если при некотором интеграл

существует.

Действительно, при этом предположении существует и интеграл

Если переписать выражение (8) в виде

то непосредственно по основной лемме ясно, что оно при стремится к нулю, так как функция , а с нею и абсолютно интегрируема. Этим и завершается доказательство.

В развернутом виде интеграл Дини может быть написан так:

Очевидно, достаточно предположить существование порознь интегралов (смотря по случаю)

или

Отсюда можно получить ряд частных признаков, используя различные известные признаки существования интегралов. Например, ограничиваясь случаем (а), укажем

Признак Липшица (R. О. Lipschitz). Ряд Фурье функции сходится в точке где она непрерывна, к сумме если для достаточно малых t выполняется неравенство

где — положительные постоянные

В случае имеем попросту

так что интегралы (11) существуют как собственные [480]. Если же то

и так как справа стоит интегрируемая функция, то интегралы (11) все же существуют, хотя бы как несобственные [482].

В частности, условие Липшица при заведомо будет выполнено, если для функции в точке существует конечная производная или, по крайней мере, конечные односторонние производные

хотя бы и различные между собой («угловая точка»). Таким образом, в точке где функция дифференцируема или, по крайней мере, имеет обе конечные односторонние производные, ряд Фурье сходится, причем сумма его равна

Легко перефразировать признак Липшица и для случая Как частное следствие отсюда, укажем и здесь, что в точке

разрыва первого рода для сходимости ряда Фурье достаточно предположить существование конечных пределов:

причем на этот раз суммой ряда будет -

Упомянутые пределы в некотором смысле уподобляются односторонним производным, лишь значение функции в точке заменяется, соответственно, ее предельными значениями справа или слева от этой точки.

Наиболее часто на практике приходится иметь дело с функциями имеющими период и дифференцируемыми или же кусочно-дифференцируемыми. Как видим, для таких функций ряд Фурье всегда сходится к самой функции за исключением «точек стыка» различных функций, где суммой ряда будет