705. Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции.

Предварительно мы дадим оценку для частичной суммы ряда Фурье, равно как и для частичной суммы сопряженного с ним ряда, предполагая функцию только ограниченной:

под М здесь можно разуметь, например, точную верхнюю границу для

По известной формуле [см. 681, (4)]

Отсюда последовательно имеем

Если под А разуметь достаточно большую постоянную, то (при последнее выражение в скобках окажется меньшим, чем так что окончательно получим

Переходя к сопряженному ряду, вспоминаем, что [696, (20)]

Поэтому

Рассуждая далее, как и выше, придем к аналогичной оценке:

где А есть новая постоянная, вообще отличная от прежней, но подобно ей не зависящая от выбора функции Впрочем, конечно, можно было бы в обоих случаях пользоваться одной и той же постоянной — наибольшей из двух.

Разность (это будет остатком ряда Фурье лишь в том случае, если он сходится к функции оценивается аналогично (2):

Действительно,

так что стоит лишь надлежаще увеличить постоянную А, чтобы придти к требуемому неравенству.

Читателя не должен удивлять тот факт, что справа в неравенстве стоит величина, растущая до бесконечности вместе с Мы знаем ведь, что для некоторых ограниченных (и даже непрерывных, см. 703) функций величина действительно, может бесконечно возрастать, а наше неравенство должно охватывать все ограниченные интегрируемые функции!